Come si trova la derivata generica n-esima di una funzione?

[Knuckles1]

Ad esempio se ho $f(x)=xlnx-x$ come faccio a dire che la deriva n-esima è : $f^n(x)=(-1)^n(n-2)!x^(-n+1)$ per ogni n maggiore o uguale a 2?

[apatriarca]

Vuoi sapere come si arriva a questo risultato oppure come lo si dimostra? Per quanto riguarda la dimostrazione credo si possa fare per induzione senza grossi problemi.

[Knuckles1]

E' possibile sapere entrambe le cose?

[apatriarca]

Normalmente le leggi di questo tipo si trovano per “tentativi”. Si inizia cioè a calcolare alcune di queste derivate e si cerca di trovare una formula che la definisca (il procedimento si chiama anch'esso induzione ma non è uguale all'induzione matematica che è il metodo di dimostrazione che ho usato nella dimostrazione successiva).

$f(x) = x*ln(x) - x$
$f'(x) = ln(x)$
$f''(x) = x^{-1}$
$f^{(3)}(x) = -1*x^{-2}$
$f^{(4)}(x) = 2*x^{-3}$
$f^{(5)}(x) = -6*x^{-4}$

Osservando queste espressioni si nota che il segno è negativo quando $n$ è dispari e positivo in caso contrario. Si comporta quindi come $(-1)^n$. Ad ogni nuova derivata si moltiplica per $(2-n)$ (l'esponente che $x$ aveva nella derivata precedente) ed eliminando il segno negativo, del quale si è già tenuto conto nel termine $(-1)^n$, si ottiene la formula che hai scritto.

Si dimostra prima di tutto che $f''(x) = 1/x = (-1)^2*(2-2)!*x^{-2+1}$. A questo punto si suppone che la formula sia valida per tutti gli $n$ fino a $k$ e quindi si dimostra che
$f^{(k+1)}(x) = d/dx (-1)^k*(k-2)!*x^{-k+1} = (-1)^k*(k-2)!*(-k+1)*x^{-k+1-1} = (-1)^{k+1}*(k-1)!*x^{-(k+1)+1} = (-1)^{k+1}*((k+1)-2)!*x^{-(k+1)+1}$

[Knuckles1]

ottimo... grazie mille... quindi oltre che a fare diversi tentativi bisogna anche avere un colpo d'occhio come ad esempio per capire che la derivata va moltiplicata per (2-n)....un po come quando bisogna scoprire l'elemento successivo di una succcessione di numeri o di figure.... grazie