Come si risolve un'Integrale di questo genere?

[joseph86]

Come si risolve questo integrale o cmq integrali di questo tipo?
$int 1/(x^2-1)^3 dx$

Grazie!

[nepero87]

"joseph86":Come si risolve questo integrale o cmq integrali di questo tipo?
$int 1/(x^2-1)^3 dx$

Grazie!

Beh, puoi usare la sostituzione, per esempio $x^2=t$, o $x^2-1=t$, stando bene attento al differenziale...

[Sk_Anonymous]

"joseph86":Come si risolve questo integrale o cmq integrali di questo tipo?
$int 1/(x^2-1)^3 dx$

Decomponi in fratti semplici, come sempre (o quasi!) in questi casi. Vale infatti $1/(x^2-1)^3 = a_1/(x-1) + a_2/(x-1)^2 + a_3/(x-1)^3 + b_1/(x+1) + b_2/(x+1)^2 + b_3/(x+1)^3$, per opportune costanti reali $a_i, b_i$ (i = 1, 2, 3) da determinarsi imponendo che i due membri siano identicamente uguali. Se conosci un minimo di teoria dei residui 'un se vo' granché! Altrimenti t'arrangi come puoi: per esempio è banale che $a_3 = 1/8$ e $b_3 = -a_3 = -1/8$. Assegnando quindi alla variabile $x$ dei valori arbitrari nell'insieme $\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}$ non ti è poi difficile dedurre un sistema di 4 equazione l.i. nelle incognite $a_1, a_2, b_1, b_2$ che, una volta risolto, ti farà rimpiangere la matematica giocosa del liceo (esattamente, moi detesta i conti!). Di lì a calcolare l'integrale, beh... il passo è breve.