Come si risolve questo problema di Cauchy???

[saruman87]

Come si risolve il seguente problema di Cauchy

y'' - 2y' + 5y = 5t
y(0) = 0
y'(0) = -2

[Fioravante Patrone1]

E' un problema del tutto standard.
Dì la soluzione che hai trovato tu, cosa non ti torna, o la difficoltà dove ti blocchi.

[alberto861]

il polinomio caratteristico dell'equazione omogenea è $\lambda^2-2\lambda+5$ con radici $1+4i$ e $1-4i$ quindi la soluzione del problema omogeneo è data da $e^t(c_1\cos(2t)+c_2\sen(2t))$ una soluzione particolare è data da $t+\frac{2}{5}$ e quindi la soluzione generale è $y(t)=e^t(c_1\cos(2t)+c_2\sen(2t))+t+\frac{2}{5}$ con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie

[saruman87]

Vorrei sapere come ci sei arrivato alla soluzione, cioè ci sono regole standard da utilizzare?

[alberto861]

un momento..dalla prima condizione segue che $c_1=-\frac{2}{5}$ e dalla seconda che $c_2=\frac{6}{5}$

[alberto861]

http://www.mat.uniroma1.it/people/mascia/1NoteEDO07.pdf qui trovi tutto nel caso in questione..per la versione in $R^n$
http://www.mat.uniroma1.it/people/mascia/2NoteEDO07.pdf

[gugo82]

[OT]

"saruman87":Vorrei sapere come ci sei arrivato alla soluzione, cioè ci sono regole standard da utilizzare?

Sembra che i nuovi studenti non siano molto aggiornati...

Cari miei, sarà sorprendente per voi scoprirlo così, su un forum, ma si da il caso che...
Da circa mille anni è stata inventata la stampa ed i libri hanno avuto, in questo pur breve lasso di tempo, un'ampia e veloce diffusione in tutti i paesi europei, anche in Italia.
Dall'inizio del 1800, inoltre, sono stati stampati molti testi sulla risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti: forse il primo è stato il Course d'Analyse di Cauchy, ma si è andati rapidamente migliorando*. Uno degli ultimi testi in proposito è proprio quello che il professore vi ha consigliato a lezione (di solito la prima del corso).
Sfogliatelo, ogni tanto, non ve ne pentirete!
[/OT]

Scusate l'OT, ma ogni tanto mi pare doveroso ricordare l'esistenza del materiale cartaceo.



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* Anche se alcuni testi fanno ancora venire i brividi.