Come si risolve questo limite?
$lim_(x->oo) ((x^2+x+1)/(x^2+x+3))^(x^4(1-cos(3/x))
Probabilmente ho pasticciato tra forme indeterminate e stime asintotiche, e non fido...comunque a me viene 1.
Sarebbe gardito anche qualche consiglio su come sia la strategia migliore per risolvere un limite di questo tipo
Probabilmente ho pasticciato tra forme indeterminate e stime asintotiche, e non fido...comunque a me viene 1.
Sarebbe gardito anche qualche consiglio su come sia la strategia migliore per risolvere un limite di questo tipo
Risposte
Io di solito mi riconduco alla forma $lim_(x->oo)e^ln(f(x))$ però non so se ci sono casi particolari...
Se non ho fatto idiozie, io ho calcolato $1/e^9$. Ti dico per sommi capi come ho fatto. Posto per comodità f(x) la funzione usata come base, e g(x) quella usata come esponente, si ha:
$\lim_{x \to \infty}f(x)^g(x) = \lim_{x \to \infty} e^ln(f(x)^g(x)) = \lim_{x \to \infty}e^(g(x)lnf(x)) = e^(\lim_{x \to \infty}(g(x)lnf(x))$
Se quindi ti concentri solo sul limite dell'esponente, dopo qualche manipolazione algebrica ottieni:
$\lim_{x \to \infty}g(x)lnf(x) = \lim_{x \to \infty}x^2(1 - cos(3/x)) * \lim_{x \to \infty} (ln(1 - 2/(x^2 + x + 3)))/(-2 / (x^2 + x + 3))*\lim_{x \to \infty}(-(2x^2) / (x^2 + x + 3))$
Il primo limite, lo puoi risolvere sviluppando $cos(3/x)$ col polinomio di Taylor di ordine 2 (tieni presente che, se x tende a infinito, posto $3/x = t$, allora t tende a 0), e il risultato dovrebbe essere $9/2$; il secondo limite tende a 1 (non e' altro che il solito limite notevole $lim_(x->0) (ln(1 + x)/x)$); il terzo e ultimo limite tende a - 2. Se metti tutto insieme, ottieni che l'esponente di $e$ tende a $9/2 * 1 * (-2) = - 9$: il risultato dovrebbe quindi essere $e^(-9) = 1 / (e^9)$
$\lim_{x \to \infty}f(x)^g(x) = \lim_{x \to \infty} e^ln(f(x)^g(x)) = \lim_{x \to \infty}e^(g(x)lnf(x)) = e^(\lim_{x \to \infty}(g(x)lnf(x))$
Se quindi ti concentri solo sul limite dell'esponente, dopo qualche manipolazione algebrica ottieni:
$\lim_{x \to \infty}g(x)lnf(x) = \lim_{x \to \infty}x^2(1 - cos(3/x)) * \lim_{x \to \infty} (ln(1 - 2/(x^2 + x + 3)))/(-2 / (x^2 + x + 3))*\lim_{x \to \infty}(-(2x^2) / (x^2 + x + 3))$
Il primo limite, lo puoi risolvere sviluppando $cos(3/x)$ col polinomio di Taylor di ordine 2 (tieni presente che, se x tende a infinito, posto $3/x = t$, allora t tende a 0), e il risultato dovrebbe essere $9/2$; il secondo limite tende a 1 (non e' altro che il solito limite notevole $lim_(x->0) (ln(1 + x)/x)$); il terzo e ultimo limite tende a - 2. Se metti tutto insieme, ottieni che l'esponente di $e$ tende a $9/2 * 1 * (-2) = - 9$: il risultato dovrebbe quindi essere $e^(-9) = 1 / (e^9)$
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