Come si risolve questo limite?
$Lim x\rightarrow 0 (2^x+11^x+19^x-3)/x$
Se sostituisco ottengo la forma indeterminata $0/0$
secondo le proprietà degli esponenziali la sonna di più esponenziali con stesso esponente è uguale a un'esponenziale che ha per base la somma delle basi e per esonente lo stesso esponente.. se non erro!
quindi ottengo:
$lim x\rightarrow 0 (32^x-3)/x$
$lim x\rightarrow 0 (1-3)/0=$ -inf
e questo risultato non và bene.. dovrebbe venire ln2+ ln11+ln19
Se sostituisco ottengo la forma indeterminata $0/0$
secondo le proprietà degli esponenziali la sonna di più esponenziali con stesso esponente è uguale a un'esponenziale che ha per base la somma delle basi e per esonente lo stesso esponente.. se non erro!
quindi ottengo:
$lim x\rightarrow 0 (32^x-3)/x$
$lim x\rightarrow 0 (1-3)/0=$ -inf
e questo risultato non và bene.. dovrebbe venire ln2+ ln11+ln19
Risposte
No no no... Il prodotto di potenze di ugual esponente e base diversa etc, etc. Devi pensarlo come somma dei tre limiti $\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{11^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{19^x-1}{x}$, limiti notevoli.
"friction":
No no no... Il prodotto di potenze di ugual esponente e base diversa etc, etc. Devi pensarlo come somma dei tre limiti $\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{11^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{19^x-1}{x}$, limiti notevoli.
non riesco ad inquadrare di che limite notevole si tratta.. proprio buio
Si tratta di questo:
$lim_(x->0) (a^x-1)/x=log(a)$
$lim_(x->0) (a^x-1)/x=log(a)$
"Obidream":
Si tratta di questo:
$lim_(x->0) (a^x-1)/x=log(a)$
Graziee
Non sapevo neanche l'esistenza di questa forma indeterminata...
E' la generalizzazione di $lim_(x->0) (e^x-1)/x=log(e)=1$ 
"Obidream":
E' la generalizzazione di $lim_(x->0) (e^x-1)/x=log(e)=1$
Potresti darmi una dritta anche su questo
$lim x\rightarrow (e^(5x)-e^(2x)-3^x)/(11x^2)$
secondo il mio prof dovrebbe tornare $21/22$
"jejel":
[quote="Obidream"]E' la generalizzazione di $lim_(x->0) (e^x-1)/x=log(e)=1$
Potresti darmi una dritta anche su questo
$lim x\rightarrow (e^(5x)-e^(2x)-3^x)/(11x^2)$
secondo il mio prof dovrebbe tornare $21/22$
[/quote]$(x->?)$
"Obidream":
$(x->?)$
x -> 0
Per il precedente:
$\frac{a^x-1}{x}=\frac{(e^lna)^x-1}{x}=\frac{e^(xlna)-1}{x}\tolna$ quando $x\to 0$.
Per il secondo, immagino tu intendessi il seguente:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)=lim_(x->0)(5x+o(x)-2x+o(x)-3x)/(11x^2)=lim_(x->0)(o(x))/(11x^2)$
quindi bisogna andare a vedere ordini superiori... hai fatto la formula di Taylor?
$\frac{a^x-1}{x}=\frac{(e^lna)^x-1}{x}=\frac{e^(xlna)-1}{x}\tolna$ quando $x\to 0$.
Per il secondo, immagino tu intendessi il seguente:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)=lim_(x->0)(5x+o(x)-2x+o(x)-3x)/(11x^2)=lim_(x->0)(o(x))/(11x^2)$
quindi bisogna andare a vedere ordini superiori... hai fatto la formula di Taylor?
"friction":
Per il precedente:
$\frac{a^x-1}{x}=\frac{(e^lna)^x-1}{x}=\frac{e^(xlna)-1}{x}\tolna$ quando $x\to 0$.
Per il secondo, immagino tu intendessi il seguente:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)=lim_(x->0)(5x+o(x)-2x+o(x)-3x)/(11x^2)=lim_(x->0)(o(x))/(11x^2)$
quindi bisogna andare a vedere ordini superiori... hai fatto la formula di Taylor?
No No intendevo proprio quello che ho scritto... infatti a me verrebbe $0$ il risultato non come dice il prof $21/22$... avrà sbagliato a scrivere il testo....
No beh è sicuramente come dice il prof se provi ad applicare il Marchese 2 volte ottieni il risultato voluto visto che alla fine si tratta pur sempre di una forma $0/0$...
Allora:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3^x)/(11x^2) =-infty$
e su questo non ci piove; poi il limite non presenta nemmeno una forma di indecisione, infatti al numeratore per $x\to0$ si ha $1-1-1=-1$.
Mentre, riprendendo il discorso di prima:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)=$
$lim_(x->0)(1+5x+25/2x^2+o(x^2)-1-2x-2x^2+o(x^2)-3x)/(11x^2)=$
$lim_(x->0)(21/2x^2+o(x^2))/(11x^2)=21/22$
coerentemente col risultato del tuo insegnante (che ha probabilmente messo la $x$ un po' troppo in alto). Oppure anche col teorema di de L'Hospital, come diceva Obidream.
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3^x)/(11x^2) =-infty$
e su questo non ci piove; poi il limite non presenta nemmeno una forma di indecisione, infatti al numeratore per $x\to0$ si ha $1-1-1=-1$.
Mentre, riprendendo il discorso di prima:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)=$
$lim_(x->0)(1+5x+25/2x^2+o(x^2)-1-2x-2x^2+o(x^2)-3x)/(11x^2)=$
$lim_(x->0)(21/2x^2+o(x^2))/(11x^2)=21/22$
coerentemente col risultato del tuo insegnante (che ha probabilmente messo la $x$ un po' troppo in alto). Oppure anche col teorema di de L'Hospital, come diceva Obidream.
"friction":
Allora:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3^x)/(11x^2) =-infty$
e su questo non ci piove; poi il limite non presenta nemmeno una forma di indecisione, infatti al numeratore per $x\to0$ si ha $1-1-1=-1$.
Mentre, riprendendo il discorso di prima:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)=$
$lim_(x->0)(1+5x+25/2x^2+o(x^2)-1-2x-2x^2+o(x^2)-3x)/(11x^2)=$
$lim_(x->0)(21/2x^2+o(x^2))/(11x^2)=21/22$
coerentemente col risultato del tuo insegnante (che ha probabilmente messo la $x$ un po' troppo in alto). Oppure anche col teorema di de L'Hospital, come diceva Obidream.
Essì, tra l'altro se ci mettiamo $3x$ otteniamo:
$lim_(x->0) (e^(5x)-e^(2x)-3^x)/(11x^2)=(1-1-0)/0=0/0$ ( perdonate l'orribile scrittura), che è effettivamente una forma indeterminata, quindi siamo nelle ipotesi del Marchese, che ci porta allo stesso risultato che si ottiene utilizzando gli sviluppi
"friction":
Per il precedente:
$\frac{a^x-1}{x}=\frac{(e^lna)^x-1}{x}=\frac{e^(xlna)-1}{x}\tolna$ quando $x\to 0$.
Per il secondo, immagino tu intendessi il seguente:
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)=lim_(x->0)(5x+o(x)-2x+o(x)-3x)/(11x^2)=lim_(x->0)(o(x))/(11x^2)$
quindi bisogna andare a vedere ordini superiori... hai fatto la formula di Taylor?
utilizzando la formula di taylor ho risolto nel seguente modo:
$lim x\rightarrow 0((1+5x+25x^2/2)-(1+2x+2x^2)-(1+x+1x^2/2))/(11x^2)$
$ (20x^2/2 +2x-1)/(11x^2)= x^2(20/2+2x/x^2-1/x^2)/(11x^2)$
$20/22$
Dov'è l'errore??
I primi due sviluppi sarebbero corretti se ci fossero gli o piccolo, il terzo non so da dove l'hai tirato fuori: ti ripeto che il limite da calcolare è
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)$
il quale presenta una forma di indecisione del tipo $0/0$.
Deduco che, dal momento che non ha senso sviluppare $3x$, tu abbia tentato di sviluppare $3^x$, peraltro in modo sbagliato; difatti la formula di Taylor con resto di Peano corretta è la seguente:
$3^x=e^(xln3)=1+xln3+x^2(ln^2(3))/2+o(x^2)$
e ribadisco che quando in un limite sostituisci una funzione col suo polinomio di Taylor non puoi non mettere il resto
.
Gli ultimi due passaggi fanno accapponare la pelle
Raccogliendo $x^2$ generi una forma indeterminata del tipo $oo-oo$ al numeratore che poi cancelli nonchalance...
$lim_(x->0)(20(x^2/2)+2x-1)/(11x^2)=-oo$
poiché il numeratore per $x->0$ tende a $-1$ mentre il denominatore va a $0^+$.
Comunque trovi la risoluzione corretta con Taylor qualche post sopra... ma sei sicuro di aver capito come si calcolano i limiti? Dovrebbe essere evidente che
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3^x)/(11x^2)=-oo$
$lim_(x->0)(10x^2+2x-1)/(11x^2)=-oo$
mentre secondo te il primo sarebbe uguale a $0$ ed il secondo a $20/22$.
Ciao
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3x)/(11x^2)$
il quale presenta una forma di indecisione del tipo $0/0$.
Deduco che, dal momento che non ha senso sviluppare $3x$, tu abbia tentato di sviluppare $3^x$, peraltro in modo sbagliato; difatti la formula di Taylor con resto di Peano corretta è la seguente:
$3^x=e^(xln3)=1+xln3+x^2(ln^2(3))/2+o(x^2)$
e ribadisco che quando in un limite sostituisci una funzione col suo polinomio di Taylor non puoi non mettere il resto
.Gli ultimi due passaggi fanno accapponare la pelle
"jejel":
$ (20x^2/2 +2x-1)/(11x^2)= x^2(20/2+2x/x^2-1/x^2)/(11x^2)$
$20/22$
Dov'è l'errore??
Raccogliendo $x^2$ generi una forma indeterminata del tipo $oo-oo$ al numeratore che poi cancelli nonchalance...
$lim_(x->0)(20(x^2/2)+2x-1)/(11x^2)=-oo$
poiché il numeratore per $x->0$ tende a $-1$ mentre il denominatore va a $0^+$.
Comunque trovi la risoluzione corretta con Taylor qualche post sopra... ma sei sicuro di aver capito come si calcolano i limiti? Dovrebbe essere evidente che
$lim_(x->0)(e^(5x)-e^(2x)-3^x)/(11x^2)=-oo$
$lim_(x->0)(10x^2+2x-1)/(11x^2)=-oo$
mentre secondo te il primo sarebbe uguale a $0$ ed il secondo a $20/22$.
Ciao
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