Come si risolve questo integrale?
ciao a tutti, ho un vettore sforzo di taglio che agisce in un punto s, $x(s,t)= 0 i +0 j +[1,5*sin(2wt)] k$ e dovrei fare questo integarale $1/T int_0^T(|x(s,t)|dt$ con T=1secondo. qualcuno mi sa guidare passo passo alla soluzione?
Risposte
questo è semplicemente l'ìntegrale di un seno...
il tuo vettore ha componenti nulle su tutti gli assi tranne uno quindi questo è un banalissimo integrale reale, cioè devi calcolare
$$
\int_0^1 1.5|\sin(4\pi t)|dt
$$
dove $\omega=2\pi$ visto che $T=1$ e $\omega=\frac{2\pi}{T}$ ...
ora l'unico dubbio che potresti avere è il modulo, dobbiamo dividere l'integrale nella somma di più integrali con estremi scelti in maniera tale che il seno fra tali estremi mantenga segno costante.
Ora l'integrale è fra 0 e 1 , quindi l'argomento del seno varia fra $0$ e $4\pi$ all'interno di tale intervallo il seno cambia segno quattro volte, infatti è positivo fra $0$ e $\pi$ negativo fra $\pi$ e $2\pi$ positivo fra $2\pi$ e $3\pi$ e negativo fra $3\pi$ e $4\pi$ , quindi dobbiamo dividere l'integrale nella somma di 4 integrali , in quelli in cui il seno è positivo togliamo il modulo mentre in quelli in cui il seno è negativo aggiungiamo un segno meno davanti al seno o equivalentemente sottraiamo l'integrale al posto di sommarlo, ovvero:
$$
\int_0^1 1.5\sin(4\pi t)dt=1.5\left(\int_0^{\frac{1}{4}} \sin(4\pi t)dt -\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \sin(4\pi t)dt+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \sin(4\pi t)dt-\int_{\frac{3}{4}}^{1} \sin(4\pi t)dt\right )
$$
a questo punto non ci resta che risolvere gli integrali e poi valutarli quindi :
$$
1.5\left(\left.-\frac{\cos(4\pi t)}{4\pi} \right|_0^{\frac{1}{4}} +\left.\frac{\cos(4\pi t)}{4\pi} \right|_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} -\left.\frac{\cos(4\pi t)}{4\pi} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} +\left.\frac{\cos(4\pi t)}{4\pi} \right|_{\frac{3}{4}}^{1} \right)=\frac{1.5}{4\pi}\left( -(-1-1)+(1-(-1))-(-1-1)+(1-(-1)) \right)=\frac{1.5}{4\pi}*8=\frac{3}{\pi}
$$
il tuo vettore ha componenti nulle su tutti gli assi tranne uno quindi questo è un banalissimo integrale reale, cioè devi calcolare
$$
\int_0^1 1.5|\sin(4\pi t)|dt
$$
dove $\omega=2\pi$ visto che $T=1$ e $\omega=\frac{2\pi}{T}$ ...
ora l'unico dubbio che potresti avere è il modulo, dobbiamo dividere l'integrale nella somma di più integrali con estremi scelti in maniera tale che il seno fra tali estremi mantenga segno costante.
Ora l'integrale è fra 0 e 1 , quindi l'argomento del seno varia fra $0$ e $4\pi$ all'interno di tale intervallo il seno cambia segno quattro volte, infatti è positivo fra $0$ e $\pi$ negativo fra $\pi$ e $2\pi$ positivo fra $2\pi$ e $3\pi$ e negativo fra $3\pi$ e $4\pi$ , quindi dobbiamo dividere l'integrale nella somma di 4 integrali , in quelli in cui il seno è positivo togliamo il modulo mentre in quelli in cui il seno è negativo aggiungiamo un segno meno davanti al seno o equivalentemente sottraiamo l'integrale al posto di sommarlo, ovvero:
$$
\int_0^1 1.5\sin(4\pi t)dt=1.5\left(\int_0^{\frac{1}{4}} \sin(4\pi t)dt -\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \sin(4\pi t)dt+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \sin(4\pi t)dt-\int_{\frac{3}{4}}^{1} \sin(4\pi t)dt\right )
$$
a questo punto non ci resta che risolvere gli integrali e poi valutarli quindi :
$$
1.5\left(\left.-\frac{\cos(4\pi t)}{4\pi} \right|_0^{\frac{1}{4}} +\left.\frac{\cos(4\pi t)}{4\pi} \right|_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} -\left.\frac{\cos(4\pi t)}{4\pi} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} +\left.\frac{\cos(4\pi t)}{4\pi} \right|_{\frac{3}{4}}^{1} \right)=\frac{1.5}{4\pi}\left( -(-1-1)+(1-(-1))-(-1-1)+(1-(-1)) \right)=\frac{1.5}{4\pi}*8=\frac{3}{\pi}
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