Come si risolve questo integrale?

[marthy_92]

Salve Nel calcolo della lunghezza di una curva in R 2 è venuto fuori questo integrale.

$ int_(0)^(π) sinx*(1+3cos^2x)^(1/2) dx $

Qualcuno ha qualche idea per risolverlo? Forse per sostituzione? Ma quale scelgo
Per parti, ho provato ma l'integrale si complica :/ Ideeeeeeeeeeeeeee???

[Noisemaker]

"Marthy_92":Salve Nel calcolo della lunghezza di una curva in R 2 è venuto fuori questo integrale.

$int_(0)^(π) sinx*(1+3cos^2x)^(1/2) dx $

Qualcuno ha qualche idea per risolverlo? Forse per sostituzione? Ma come ???

$int_(0)^(π) sinx*(1+3cos^2x)^(1/2) dx= -int_(0)^(π) (1+3cos^2x )^(1/2) d(cos x)= -int_(1)^(-1) (1+3t^2)^(1/2) dt= int_(-1)^(1) (1+3t^2)^(1/2) dt=....$

[marthy_92]

Grazie Noisemaker.. e dall'ultimo risultato come continuo? Quale metodo utilizzo?

[Noisemaker]

L'integrale del tipo:
\begin{align}
\int R\left( x, \sqrt{ax^2+bx+c}\right)\,\,dx,
\end{align}
con $R$ funzione razionale, si riconduce a una delle seguenti forme e può essere ricondotto ad una funzione razionale mediante la sostituzione indicata a fianco:
\begin{align}
{\bf I)}&\int R\left( x, \sqrt{a ^2+ x^2}\right)\,\,dx \qquad\qquad x=a\tan t \quad \text{oppure}\quad x=a\sinh t\\
{\bf II)} &\int R\left( x, \sqrt{x ^2- a^2}\right)\,\,dx \qquad\qquad x=a\sec t \quad \text{oppure}\quad x=a\cosh t \\
{\bf III)}&\int R\left( x, \sqrt{a ^2- x^2}\right)\,\,dx \qquad\qquad x=a\sin t \quad \text{oppure}\quad x=a\tanh t
\end{align}
ricordando che:
\begin{align*}
\sinh t &=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\quad &\cosh t &=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \quad &\tanh t &=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\
\sinh^{-1} x &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)&\quad \cosh^{-1} t &=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) \quad &\tanh^{-1} t &=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x }\right)
\end{align*}