Come si risolve? [limite e integrale improprio]
sia data $f(x)=ln(1+x^(2\alpha))/x-1/sqrt(x)$
1)discutere il $lim_(x->0^+) f(x)$ al variare di $\alpha$ appartenente a R;
2)Calcolare per $\alpha=1$, se esiste, $\int_0^3 f(x) dx$
EDIT[esponente della x]
[mod="Fioravante Patrone"]Il titolo! Troppo generico.
Per stavolta ho "rimediato" io, ma intanto mi porto in studio un bastone nodoso:
non si sa mai, se ti incrociassi in un corridoio...[/mod]
1)discutere il $lim_(x->0^+) f(x)$ al variare di $\alpha$ appartenente a R;
2)Calcolare per $\alpha=1$, se esiste, $\int_0^3 f(x) dx$
EDIT[esponente della x]
[mod="Fioravante Patrone"]Il titolo! Troppo generico.
Per stavolta ho "rimediato" io, ma intanto mi porto in studio un bastone nodoso:
non si sa mai, se ti incrociassi in un corridoio...[/mod]
Risposte
Per il primo prova aspezzare il limite...ti accorgi che la prima parte per ogni $alpha$ appartenente a $R$ è una forma indetreminata $0/0$ che puoi risolvere ad esempio con L'hopital oppure non ricordo se è un limite notevole...Se non erro dovrebbe andare a 0. La seconda parte cioè $-1/sqrt(x)$ è semplice...
Per il secondo devi applicare le tecniche di integrazione che conosci ricordantoti che in zero c'è qualche problema quinidi verifica se esiste...
Per il secondo devi applicare le tecniche di integrazione che conosci ricordantoti che in zero c'è qualche problema quinidi verifica se esiste...
1) Il limite è tendente a $-oo$ quale che sia il valore di $alpha$, perchè:
$lim_(x rightarrow 0^+) ln(1+alphax^2)/x - 1/sqrt(x) =$[Principio di sostituzione degli infinitesimi]$= lim_(x rightarrow 0^+) (alphax^2)/x- 1/sqrt(x) = -oo$
Per il secondo in lavorazione...
$lim_(x rightarrow 0^+) ln(1+alphax^2)/x - 1/sqrt(x) =$[Principio di sostituzione degli infinitesimi]$= lim_(x rightarrow 0^+) (alphax^2)/x- 1/sqrt(x) = -oo$
Per il secondo in lavorazione...
scusa ma non so cosa sia il principio di sostituzione degli infinitesimi... non è taylor giusto?
Osserva che:
$lim_(x rightarrow 0^+) ln(1+alphax^2)/(alphax^2)=1$
Da cui, due funzioni $f(x)$ e $g(x)$si dicono infinitesimi equivalenti (e si scrivono $f(x) \sim g(x)$) sse:
$lim_(x rightarrow 0^+) f(x)/g(x)=1$
allora è semplice dimostrare che :
$lim_(x rightarrow 0^+) f(x)/(h(x))=lim_(x rightarrow 0^+) g(x)/(h(x))$
oppure:
$lim_(x rightarrow 0^+) f(x)*h(x)=lim_(x rightarrow 0^+) g(x)*h(x)$
quale che sia $h(x)$.
P.S. vale solo per moltiplicazioni e divisioni!
$lim_(x rightarrow 0^+) ln(1+alphax^2)/(alphax^2)=1$
Da cui, due funzioni $f(x)$ e $g(x)$si dicono infinitesimi equivalenti (e si scrivono $f(x) \sim g(x)$) sse:
$lim_(x rightarrow 0^+) f(x)/g(x)=1$
allora è semplice dimostrare che :
$lim_(x rightarrow 0^+) f(x)/(h(x))=lim_(x rightarrow 0^+) g(x)/(h(x))$
oppure:
$lim_(x rightarrow 0^+) f(x)*h(x)=lim_(x rightarrow 0^+) g(x)*h(x)$
quale che sia $h(x)$.
P.S. vale solo per moltiplicazioni e divisioni!
nel punto due ho ho fatto f(3) e mi viene $(sqrt(3)ln10-3)/(3sqrt(3))$ che un valore definito quindi in 3 f(x) è integrabile....
poi ho calcolato
$lim_(x->0^+)(sqrt(x)(x^2-x^4/2+x^6/3+x^6\omega(x^2))-x)/(xsqrt(x))=$ con gli sviluppi di taylor....
$lim_(x->0^+)(x^(5/2)-x^(9/2)/2+x^(9/2)\omega(x^(5/2))-x)/(xsqrt(x))$
raccolgo x:
$lim_(x->0^+)(x(x^(3/2)-x^(7/2)/2+x^(7/2)\omega(x^(3/2))-1))/(xsqrt(x))=lim_(x->0^+)(x^(3/2)-x^(7/2)/2+x^(7/2)\omega(x^(3/2))-1)/(sqrt(x))$
ma poi
??? non sapevo più che fare....
poi ho calcolato
$lim_(x->0^+)(sqrt(x)(x^2-x^4/2+x^6/3+x^6\omega(x^2))-x)/(xsqrt(x))=$ con gli sviluppi di taylor....
$lim_(x->0^+)(x^(5/2)-x^(9/2)/2+x^(9/2)\omega(x^(5/2))-x)/(xsqrt(x))$
raccolgo x:
$lim_(x->0^+)(x(x^(3/2)-x^(7/2)/2+x^(7/2)\omega(x^(3/2))-1))/(xsqrt(x))=lim_(x->0^+)(x^(3/2)-x^(7/2)/2+x^(7/2)\omega(x^(3/2))-1)/(sqrt(x))$
ma poi
??? non sapevo più che fare....
SCUSA!!!!! sono un deficiente!è elevato alla $2\alpha$
Ah ecco!
Risponderò presto! (Se prima non lo farà qualcun altro!
Risponderò presto! (Se prima non lo farà qualcun altro!
La migliore strategia risolutiva credo che sia sempre la sostituzione con gli infinitesimi, visto che $ln(1+t)~t$, allora $ln(1+x^(2\alpha)~x^(2\alpha)$, per cui
$lim_(x \to 0^+)x^(2\alpha)/x-1/sqrt(x)=0-\infty=-\infty$...
$lim_(x \to 0^+)x^(2\alpha)/x-1/sqrt(x)=0-\infty=-\infty$...
ok... eper quanto riguarda il punto b?
grazie fioravante e scusa
grazie fioravante e scusa
non c'è un modo senza usare la sostituzione degli infiniti? perchè non lo so usare....
Per il punto b) penso converga in quanto nell'intorno di $x=0$
$\int_(0)^(3)\frac(\ln(1+x^(2)))(x)-\frac(1)(\sqrt(x))\ dx\approx\int_(0)^(3) x-\frac(1)(\sqrt(x))\ dx$
Che è integrabile
$\int_(0)^(3)\frac(\ln(1+x^(2)))(x)-\frac(1)(\sqrt(x))\ dx\approx\int_(0)^(3) x-\frac(1)(\sqrt(x))\ dx$
Che è integrabile
Prova a postare tu la risulzione...Per il primo non serve la sostituzione degli infinetisimi!!Studia i tre casi $alpha>0$, $alpha<0$ e $alpha=0$
Per $alpha>0$ si ha che:
$lim_{x to 0^+}ln(1+x^(2alpha))/x$ è una forma indeterminata $0/0$
applicando l'hopital si ha:
$lim_{x to 0^+}ln(1+x^(2alpha))/x=lim_{x to 0^+}(2alphax^(2alpha-1))/(1+x^(2alpha))=0$
é da escludere il caso $alpha=1/2$ per il quale il limite va a $1$
Per la seconda parte è banale e tende a $-oo$
Il limite quindi va a $-oo$
Salvo sviste il ragionamento dovrebbe essere questo...prova per gli altri due casi..
Per $alpha>0$ si ha che:
$lim_{x to 0^+}ln(1+x^(2alpha))/x$ è una forma indeterminata $0/0$
applicando l'hopital si ha:
$lim_{x to 0^+}ln(1+x^(2alpha))/x=lim_{x to 0^+}(2alphax^(2alpha-1))/(1+x^(2alpha))=0$
é da escludere il caso $alpha=1/2$ per il quale il limite va a $1$
Per la seconda parte è banale e tende a $-oo$
Il limite quindi va a $-oo$
Salvo sviste il ragionamento dovrebbe essere questo...prova per gli altri due casi..
ho scritto gli unici passaggi che sono riuscito a fare... cmq chiedo sopratutto ai professori... come si risolvono in generale questo tipo di problemi che chiedono di discutere l'esercizio al variare del parametro? cosa devo andare a cercare? casi particolari? se si come li riconosco? e come funziona il principio di sostituzione degli infinitesimi?
scusate le numerose domande... un grazie a chi mi aiuterà!
scusate le numerose domande... un grazie a chi mi aiuterà!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo