Come si risolve $\int \frac{\ln(x)}{1+x^2} \text{d} x$
Salve a tutti!
Ho provato a risolvere il seguente integrale
\[
\int \frac{\ln(x)}{1+x^2} \,\text{d} x
\]
tramite Mathematica di Wolfram ed ho ottenuto il seguente risultato:
\[
1/2 i [-\text{Li}_2(-i x)+\text{Li}_2(i x)+(\ln(1-i x)-\ln(1+i x)) \ln(x)]+c
\]
dove $\text{Li}$ è il polilogaritmo (si può riprodurre il calcolo con WolframAlpha). Mi chiedevo:
1) che senso ha che la primitiva di una funzione reale sia una funzione complessa e anche polidroma (anche se in realtà sospetto che Mathematica tratti il logaritmo complesso come una funzione monodroma, visto che il calcolo di $\ln(-1)$ mi restituisce $i \pi$);
2) che procedimento si usa per calcolare questo integrale?
Grazie
Ho provato a risolvere il seguente integrale
\[
\int \frac{\ln(x)}{1+x^2} \,\text{d} x
\]
tramite Mathematica di Wolfram ed ho ottenuto il seguente risultato:
\[
1/2 i [-\text{Li}_2(-i x)+\text{Li}_2(i x)+(\ln(1-i x)-\ln(1+i x)) \ln(x)]+c
\]
dove $\text{Li}$ è il polilogaritmo (si può riprodurre il calcolo con WolframAlpha). Mi chiedevo:
1) che senso ha che la primitiva di una funzione reale sia una funzione complessa e anche polidroma (anche se in realtà sospetto che Mathematica tratti il logaritmo complesso come una funzione monodroma, visto che il calcolo di $\ln(-1)$ mi restituisce $i \pi$);
2) che procedimento si usa per calcolare questo integrale?
Grazie
Risposte
Per quanto riguarda la seconda domanda la risposta è molto complessa. Per esempio puoi trovare una risposta parziale in libri tipo questo http://www.springer.com/mathematics/ana ... 40-21493-9
Riguardo alla prima penso che wolfram faccia i calcoli automaticamente nei complessi. Immagino tu possa forzarlo a farlo nei reali. Ma non lo conosco molto.
Riguardo alla prima penso che wolfram faccia i calcoli automaticamente nei complessi. Immagino tu possa forzarlo a farlo nei reali. Ma non lo conosco molto.
Ti ringrazio molto!
Questi "simpatici" conti mi stanno uscendo nel lavoro della tesi...spero di uscirne vivo :p
Questi "simpatici" conti mi stanno uscendo nel lavoro della tesi...spero di uscirne vivo :p
Forse ho capito perché escono questi strani risultati con Mathematica, visto che mi dice che
\[
\int \frac{1}{x}\, \text{d}x = \ln(x)+constant
\]
dimenticandosi del modulo (guardare per credere)...e mi fa pure il bel disegnino con parte reale e complessa.
Sono alquanto basito..non so se mi toccherà rivedere a mano formule che occupano un intero foglio A4 oppure se troverò un trucco per risolvere la faccenda..
se qualcuno che ha dimestichezza con Mathematica conoscesse qualche trucco gliene sarei grato
\[
\int \frac{1}{x}\, \text{d}x = \ln(x)+constant
\]
dimenticandosi del modulo (guardare per credere)...e mi fa pure il bel disegnino con parte reale e complessa.
Sono alquanto basito..non so se mi toccherà rivedere a mano formule che occupano un intero foglio A4 oppure se troverò un trucco per risolvere la faccenda..
se qualcuno che ha dimestichezza con Mathematica conoscesse qualche trucco gliene sarei grato
Non c'è niente di strano, sicuramente Mathematica interpreta il logaritmo come una determinazione del logaritmo complesso. (Questo è sicuramente meglio che portarsi dietro quel valore assoluto: calcola anche solo un paio di derivate e vedrai che porcheria viene fuori.)
E' lo stesso problema della funzione potenza, che i software simbolici interpretano sempre in senso complesso. E quindi succede che $(-1)^3$ non è un numero reale e non ci si capisce più niente.
In questi casi la regola d'oro è: consultare la guida in linea.
Per il tuo problema specifico, prova a:
1) aggiungere la assumption $x>0$.
2) caricare il pacchetto "RealOnly" o "RealDomain" (non mi ricordo più come si chiama).
3) consultare la guida in linea
E' lo stesso problema della funzione potenza, che i software simbolici interpretano sempre in senso complesso. E quindi succede che $(-1)^3$ non è un numero reale e non ci si capisce più niente.
In questi casi la regola d'oro è: consultare la guida in linea.
Per il tuo problema specifico, prova a:
1) aggiungere la assumption $x>0$.
2) caricare il pacchetto "RealOnly" o "RealDomain" (non mi ricordo più come si chiama).
3) consultare la guida in linea
Ecco qua la soluzione 
Come hai fatto uscire quel \(\displaystyle \arctan(x) \) ? Non dovrebbe essere \(\displaystyle \ln(x) \arctan(x) \) ?
si hai ragione, piccola distrazione che però fa sbagliare tutto l'esercizio, mi sono accorto di un altro errore di segno, domani rifaccio, scusate :/
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