Come si può dimostrare che una curva non è regolare?

[wattbatt]

So che una curva per essere regolare deve avere almeno una parametrizzazione $\vec r (t)$ tale che:
- ha componenti continue con derivate continue
- la sua derivata non si deve annullare

Se volessi dimostrare che una curva non è regolare non posso certo usare questa definizione perchè dovrei far vedere che nessuna delle infinite parametrizzazioni possibili ha queste caratteristiche;

per esempio, sul libro c'è una funzione $y=root(3)(x^2)$:




che se ho capito bene come curva non è regolare.
Non ho capito su che basi si può dire ciò; viene parametrizzata con $x=t^3$, da cui $\vec r (t)= t^3 \vec i + t^2 \vec j$. La sua derivata si annulla in 0 ma non è una prova per dire che la curva non è regolare, magari esiste una parametrizzazione misteriosa per cui invece non succede. La spiegazione viene più o meno liquidata con "c'è una cuspide", ma non mi pare ci siano teoremi che dicano in pratica "se c'è una cuspide allora la curva non è regolare"

[solaàl]

Esiste una curva che ha una parametrizzazione regolare in un punto, ma irregolare in un altro punto?

[wattbatt]

Allora, ho trovato una spiegazione che non è "ufficiale" ma credo vada bene. Si può vedere $\vec r (t)$ come una legge oraria, ed il suo sostegno cioè la curva come una traiettoria. La derivata di $\vec r (t)$ si può considerare come la velocità invece, e nei punti angolosi è SICURO che lì si annullerà sempre, perchè deve andare a zero se si cambia bruscamente direzione. Quindi la curva non è regolare perchè se anche posso trovare parametrizzazioni $C^1$ non posso trovarne nessuna che abbia anche la derivata che non si annulla. Che ne dite?