Come si integra questa EDO?
$-u'-cu+\frac{u^2}{2}=j$ dove $c$ e $j$ sono costanti...
è un'equazione a variabili separabili? faccio:
$u'= (-cu+\frac{u^2}{2}-j)\cdot 1$,
$\int_{x_0}^{x}\frac{ds}{-cu+\frac{u^2}{2}-j}= x - x_0$ ?
io l'avrei integrata così e mi viene una cosa con l'arcotangente..solo che il punto seguente dell'esercizio da l'espressione della soluzione e non ci sono arcotangenti ma esponenziali e sembrerebbe avere senso effettivamente dato il contesto..perciò suppongo di non ricordarmi più come si integrano le EDO..
mi sapete aiutare? grazie 1000!!
è un'equazione a variabili separabili? faccio:
$u'= (-cu+\frac{u^2}{2}-j)\cdot 1$,
$\int_{x_0}^{x}\frac{ds}{-cu+\frac{u^2}{2}-j}= x - x_0$ ?
io l'avrei integrata così e mi viene una cosa con l'arcotangente..solo che il punto seguente dell'esercizio da l'espressione della soluzione e non ci sono arcotangenti ma esponenziali e sembrerebbe avere senso effettivamente dato il contesto..perciò suppongo di non ricordarmi più come si integrano le EDO..
mi sapete aiutare? grazie 1000!!
Risposte
Dunque, io riscriverei così:
[tex]$\int_{u_0}^u\frac{2\ du}{u^2-2cu-2j} = x-x_0$[/tex]
Ora a seconda dei valori delle costanti le cose cambiano alquanto. Infatti, se chiami [tex]$\Delta=c^2+2j$[/tex] ottieni la seguente riscrittura del denominatore ad argomento dell'integrale:
[tex]$\Delta=a^2> 0\ \Rightarrow\ u^2-2cu-2j=(u-c)^2-a^2=(u-c-a)(u-c+a)$[/tex]
[tex]$\Delta=0\ \Rightarrow\ u^2-2cu-2j=(u-c)^2$[/tex]
[tex]$\Delta=-a^2<0\ \Rightarrow\ u^2-2cu-2j=(u-c)^2+a^2$[/tex]
Nel primo caso, integrando, otterrai come soluzione una funzione logaritmo, nel secondo una funzione razionale fratta e nel terzo una arcotangente. Sei sicuro di non avere condizioni sulla forma delle costanti?
[tex]$\int_{u_0}^u\frac{2\ du}{u^2-2cu-2j} = x-x_0$[/tex]
Ora a seconda dei valori delle costanti le cose cambiano alquanto. Infatti, se chiami [tex]$\Delta=c^2+2j$[/tex] ottieni la seguente riscrittura del denominatore ad argomento dell'integrale:
[tex]$\Delta=a^2> 0\ \Rightarrow\ u^2-2cu-2j=(u-c)^2-a^2=(u-c-a)(u-c+a)$[/tex]
[tex]$\Delta=0\ \Rightarrow\ u^2-2cu-2j=(u-c)^2$[/tex]
[tex]$\Delta=-a^2<0\ \Rightarrow\ u^2-2cu-2j=(u-c)^2+a^2$[/tex]
Nel primo caso, integrando, otterrai come soluzione una funzione logaritmo, nel secondo una funzione razionale fratta e nel terzo una arcotangente. Sei sicuro di non avere condizioni sulla forma delle costanti?
ahah! perfetto grazie..ho capito!!
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