Come si fanno i limiti di successioni in $R^2$?

[spifabio]

Ragazzi buongiorno, ho un problema: Il prof ha messo tra gli esercizi dei limiti di successioni in $R^2$ ma non li ha spiegati.
Del tipo
$lim_(n->oo)(1/ncosn, 1/nsinn)$

Intuitivamente mi viene da dire che $lim_(n->oo)1/ncosn=0$ ; $lim_(n->oo)1/nsinn=0$ e quindi $lim_(n->oo)(1/ncosn, 1/nsinn)=(0,0)$
E cosi che si fanno?

[gugo82]

Una successione di termine generale \(\mathbf{a}_n=(a_n^1,a_n^2,\ldots ,a_n^N)\in \mathbb{R}^N\) è convergente se e solo se ognuna delle sue componenti, i.e. ognuna delle \(N\) successioni \(a_n^1,a_n^2,\ldots ,a_n^N\), è convergente in \(\mathbb{R}\) (questo segue abbastanza banalmente dalla definizione di limite e dalle diguguaglianze per la norma euclidea).
Analogamente, \(\mathbf{a}_n=(a_n^1,a_n^2,\ldots ,a_n^N)\) diverge in norma se e solo se almeno una delle componenti \(a_n^1,a_n^2,\ldots ,a_n^N\) diverge in valore assoluto.

Perciò, lo studio delle successioni vettoriali si fa guardando i comportamenti delle singole successioni di componenti... E conseguentemente il tuo esercizio è svolto bene.

[spifabio]

Ti ringrazio gugo82!