Come si fa questa somma della serie di potenze??
Ciao, volevo chiedere se qualcuno sa trovare la somma di questa serie di potenze:
Somme per n che va da zero a infinito di (x^n)/(n^2)
Per chiarire cosa cerco ricordo alcune somme:
somme per n da zero a inf di x^n = 1/(1-x)
" " 1 a infin di (x^n)/(n) = - Ln( 1 - x)
il problema è che temo di perdere roba per strada con un n^2 al denominatore.
grazie
Somme per n che va da zero a infinito di (x^n)/(n^2)
Per chiarire cosa cerco ricordo alcune somme:
somme per n da zero a inf di x^n = 1/(1-x)
" " 1 a infin di (x^n)/(n) = - Ln( 1 - x)
il problema è che temo di perdere roba per strada con un n^2 al denominatore.
grazie
Risposte
Beh, tralasciando il problema della convergenza, potresti provare derivando la serie. In effetti se poni
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$
allora
$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n}$
da cui
$x f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$
A questo punto potresti integrare e trovare che
$f(x)=-\int\frac{\ln(1-x)}{x}\ dx$.
Però attento: fino a qui il problema di dove la serie converga non me lo sono assolutamente posto e tutti i calcoli che ho fatto gli ho svolti in modo "simbolico" o "formale". E comunque pure quell'integrale non è proprio il massimo!
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$
allora
$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n}$
da cui
$x f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$
A questo punto potresti integrare e trovare che
$f(x)=-\int\frac{\ln(1-x)}{x}\ dx$.
Però attento: fino a qui il problema di dove la serie converga non me lo sono assolutamente posto e tutti i calcoli che ho fatto gli ho svolti in modo "simbolico" o "formale". E comunque pure quell'integrale non è proprio il massimo!
ok grazie mille
Prego, comunque controlla attentamente. Non vorrei che in realtà tu abbia una situazione in cui non puoi operare a causa di problemi di convergenza!
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