Come si dimostra il teorema di limitatezza delle successioni di Cauchy?
Il mio libro liquida l'argomento dicendo che "si lascia al lettore la facile dimostrazione". Ma io proprio non ne esco e cercando su internet non riesco comunque a capire le dimostrazioni.
Ad esempio ho trovato questa:
Per ipotesi sappiamo che la successione è di Cauchy e per definizione abbiamo che qualunque sia $ε>0$ esiste $N$ tale che con $m,n>N$ si ha $|x_n-x_m|<ε$.
Per $ε=1$ si pone $|x_n|-|x_m|<=|x_n-x_m|<1$ qualunque sia $n,m>N$.
Ponendo $m=N+1$ si ha quindi $|x_n|-|x_(N+1)|<=|x_n-x_(N+1)|<1$ per cui $|x_n|<1+|x_(N+1)|$
A questo punto definiamo $M=max(|x_1|, |x_2|, ..., |x_(N+1)+1|)$ e possiamo asserire che $|a_n|<=M$.
Quest'ultimo passaggio non mi torna proprio, a cosa mi serve definire M come il massimo di quell'insieme?
Ad esempio ho trovato questa:
Per ipotesi sappiamo che la successione è di Cauchy e per definizione abbiamo che qualunque sia $ε>0$ esiste $N$ tale che con $m,n>N$ si ha $|x_n-x_m|<ε$.
Per $ε=1$ si pone $|x_n|-|x_m|<=|x_n-x_m|<1$ qualunque sia $n,m>N$.
Ponendo $m=N+1$ si ha quindi $|x_n|-|x_(N+1)|<=|x_n-x_(N+1)|<1$ per cui $|x_n|<1+|x_(N+1)|$
A questo punto definiamo $M=max(|x_1|, |x_2|, ..., |x_(N+1)+1|)$ e possiamo asserire che $|a_n|<=M$.
Quest'ultimo passaggio non mi torna proprio, a cosa mi serve definire M come il massimo di quell'insieme?
Risposte
Una volta arrivati a questo punto: \(\displaystyle \left|x_n\right|\le 1+\left|x_{N+1}\right| \) abbiamo mostrato che i termini della successione per \(\displaystyle n>N \) sono limitati superiormente.
La domanda che bisogna porsi ora è: cosa possiamo dire sui termini con \(\displaystyle n\le N \)? Sono maggiorati dallo stesso numero, oppure ce n'è uno o più che lo superano?
Poco male: definendo \(\displaystyle M \) come il valore massimo ottenuto dalla successione dal primo termine a $1+|x_(N+1)| $ sappiamo che $M$ maggiora ogni termine della successione, per costruzione, non importa che sia maggiore, minore, o uguale a $N$.
La domanda che bisogna porsi ora è: cosa possiamo dire sui termini con \(\displaystyle n\le N \)? Sono maggiorati dallo stesso numero, oppure ce n'è uno o più che lo superano?
Poco male: definendo \(\displaystyle M \) come il valore massimo ottenuto dalla successione dal primo termine a $1+|x_(N+1)| $ sappiamo che $M$ maggiora ogni termine della successione, per costruzione, non importa che sia maggiore, minore, o uguale a $N$.
Ma in teoria $|x_n|<=1+|x_(N+1)|$ non significa $-[1+|x_(N+1)|]<=x_n<=1+|x_(N+1)|$? Se questo è vero perché dici che i termini della successione sono limitati superiormente? Non dovrebbero essere limitati sia superiormente che inferiormente? E poi perché bisogna porre $ε$ proprio ad $1$?
Intendevo che i termini $|x_n|$ sono limitati inferiormente... quindi sì in realtà ogni termine è limitato superiormente e inferiormente, chiaro.
$epsilon$ si pone uguale a uno per comodità, nient'altro.
$epsilon$ si pone uguale a uno per comodità, nient'altro.
"Leoddio":
E poi perché bisogna porre $ε$ proprio ad $1$?
In virtù del "per ogni $\epsilon>0$...". Come ti è stato detto $\epsilon=1$ - se vuoi è questione di " eleganza" che ha il numero $1$ - è solo una semplice comodità. La scelta del valore affidato a $\epsilon$ è ininfluente, purchè sia maggiore di $0$, visto che sta sotto l'influenza di un quantificatore universale ($\forall$). Il tuo testo non è l'unico a liquidare con "facilmente si ricava..." o simili quanto tu ha esposto. Purtroppo, si fa per dire, i quantificatori, presentissimi in analisi, non sono una cosa così semplice e bisogna imparare a padroneggiarne l'uso.
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