Come si confranto gli integrali?
Salve ragazzi,
studiavo gli integrali impropri e in particolare il metodo attraverso il quale se abbiamo una funzione $ f $ e ne dobbiamo constatare la convergenza, possiamo confrontarla a una funzione $ g $ maggiore o uguale alla prima nello stesso intervallo. Il mio problema è proprio che non capisco come scegliere $ g $.
C'è qualche metodo che mi sfugge? Ecco un esempio in cui non capisco da dove si prenda la funzione $ g $:
Tra l'altro in questo esempio non capisco neanche perché la condizione di convergenza dipenda da n-1>1.
Grazie in anticipo!
studiavo gli integrali impropri e in particolare il metodo attraverso il quale se abbiamo una funzione $ f $ e ne dobbiamo constatare la convergenza, possiamo confrontarla a una funzione $ g $ maggiore o uguale alla prima nello stesso intervallo. Il mio problema è proprio che non capisco come scegliere $ g $.
C'è qualche metodo che mi sfugge? Ecco un esempio in cui non capisco da dove si prenda la funzione $ g $:
Tra l'altro in questo esempio non capisco neanche perché la condizione di convergenza dipenda da n-1>1.
Grazie in anticipo!
Risposte
Non c'è un modo per scegliere $g$, è una qualsiasi funzione tale che $g>=f$. Comunque in quell'esercizio non si usa quel criterio, bensì il criterio del confronto asintotico.
Nell'immagine viene utilizzato il confronto asintotico con un integrale improprio notevole:
\[ \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^p} dx \]
che converge $ \iff p > 1 $. Ci sono altri integrali notevoli di questo tipo:
\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx \]
che converge $\iff p < 1$,
\[ \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^p} dx \]
che è divergente per qualsiasi $p$. Inoltre:
\[ \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^p} dx \ \& \ \int_{a}^{b} \frac{1}{(b - x)^p} dx, \ a, b \ \in \ \mathbb{R} \]
convergono $\iff p < 1$.
Il confronto con questi integrali notevoli viene chiamato, soprattutto nei paesi anglosassoni, p-test.
\[ \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^p} dx \]
che converge $ \iff p > 1 $. Ci sono altri integrali notevoli di questo tipo:
\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx \]
che converge $\iff p < 1$,
\[ \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^p} dx \]
che è divergente per qualsiasi $p$. Inoltre:
\[ \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^p} dx \ \& \ \int_{a}^{b} \frac{1}{(b - x)^p} dx, \ a, b \ \in \ \mathbb{R} \]
convergono $\iff p < 1$.
Il confronto con questi integrali notevoli viene chiamato, soprattutto nei paesi anglosassoni, p-test.
Grazie mille a entrambi, ora mi è più chiaro! Conoscete per caso un libro di testo che tratti in maniera esaustiva l'argomento? Io sto studiando su Calcolo Differenziale I di Adams ma il confronto asintotico non viene approfondito come vorrei. Vi ringrazio ancora.
L'unico libro che mi viene in mente che potrebbe soddisfare la tua richiesta è Calculus, vol. 1 di Apostol. Gli integrali impropri sono spiegati subito dopo le serie, e mi sembra che la trattazione sia abbastanza esaustiva (almeno nell'edizione originale; poi non so nella traduzione italiana se lo sia altrettanto).
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