Come si comportano i limiti con $(-1)^n$ ?
ciao a tutti, ho una domanda:
come si comportano i limiti con $(-k)^n$ ? che effetto ha questa parte sull'andamento dei limiti con $n \to \infty$ e $k$ cstante? siccome $(-n)^k$ dovrebbe oscillare in continuazione tra valori positivi e negativi, come la conto? se ho ad esempio: $lim_(n \to \infty)(-1)^n+n^2$ lo posso ocnsiderare ininfluente dato che ${(-1)^n} < < {n^2}$ ? ma nel caso di $lim_(n \to \infty)(-1)^n+1/n^2$ ?
grazie e buona pasqua
come si comportano i limiti con $(-k)^n$ ? che effetto ha questa parte sull'andamento dei limiti con $n \to \infty$ e $k$ cstante? siccome $(-n)^k$ dovrebbe oscillare in continuazione tra valori positivi e negativi, come la conto? se ho ad esempio: $lim_(n \to \infty)(-1)^n+n^2$ lo posso ocnsiderare ininfluente dato che ${(-1)^n} < < {n^2}$ ? ma nel caso di $lim_(n \to \infty)(-1)^n+1/n^2$ ?
grazie e buona pasqua
Risposte
Beh secondo me è limite che non può essere studiato perchè quando $n$ è pari il tuo limite tenderà a $1$, quando $n$ è dispari il tuo limite tenderà a $-1$...
Nel caso generale dipende sempre dal limite...
Nel caso generale dipende sempre dal limite...
Non esiste il limite nell'esempio che hai riportato. Questo perchè il termine $1/n^2$ tende a zero diventando quindi trascurabile, mentre $(-1)^n$ continua a oscillare tra $1$ e $-1$.
In termini un po' più rigorosi, esistono due sottosuccessioni (dovresti essere in grado di trovarle ) che, per $n->+oo$, hanno due limiti distinti; questo basta per concludere che il limite non esiste.
In termini un po' più rigorosi, esistono due sottosuccessioni (dovresti essere in grado di trovarle ) che, per $n->+oo$, hanno due limiti distinti; questo basta per concludere che il limite non esiste.
okka, ma nel caso di $lim_(n \to \infty)(-1)^n*n^2$ ?
grazie
grazie
Hai provato a farti un disegnino? Le successioni di numeri reali si possono visualizzare in almeno due modi. Uno consiste nel disegnare la retta reale e segnare con un puntino i vari termini della successione.
Oppure, puoi disegnare un grafico riportando sulle ascisse i numeri naturali ($n=1, 2, 3, ...$) e sulle ordinate i termini della successione. Che dici di seguire questa strada, per la tua successione? Ecco qua che succede:
[asvg]xmin=0.9; xmax=6; ymin=-25; ymax=36; axes("label"); dot([1, -1]); dot([2, 4]); dot([3, -9]); dot([4, 16]); dot([5, -25]);dot([6, 36]);[/asvg]
Mi pare abbastanza evidente che la successione non è regolare. Infatti si riescono a trovare due estratte, una divergente a $+infty$ e l'altra a $-infty$.
Oppure, puoi disegnare un grafico riportando sulle ascisse i numeri naturali ($n=1, 2, 3, ...$) e sulle ordinate i termini della successione. Che dici di seguire questa strada, per la tua successione? Ecco qua che succede:
[asvg]xmin=0.9; xmax=6; ymin=-25; ymax=36; axes("label"); dot([1, -1]); dot([2, 4]); dot([3, -9]); dot([4, 16]); dot([5, -25]);dot([6, 36]);[/asvg]
Mi pare abbastanza evidente che la successione non è regolare. Infatti si riescono a trovare due estratte, una divergente a $+infty$ e l'altra a $-infty$.
ciao, si, ci avevo pensato ed ero giunto a conclusione che in caso di $n$ positivo tende a infinito, in caso di $n$ negativo tende a meno infinito... quindi il limite non esiste? nel senso che non è possibile stabilirlo con esattezza per $n \to \infty$
"BoG":
ciao, si, ci avevo pensato ed ero giunto a conclusione che in caso di $n$ positivo tende a infinito, in caso di $n$ negativo tende a meno infinito... quindi il limite non esiste? nel senso che non è possibile stabilirlo con esattezza per $n \to \infty$
n positivo? n negativo?
impossibile stabilirlo con esattezza?
Scusa, ma ti suggerirei di studiare un po' di più i "fondamantali".
E anche di riflettere un po' di più, di chiarirti meglio le idee prima di scrivere.
lol, volevo dire n pari o n dispari
Ora va meglio...
ok, forse ci sono:
una serie [tex]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_{n}[/tex] converge se [tex]a_n \to 0[/tex]. Quindi nell'esempio che ho fatto io : [tex]\lim_{n \to \infty} (-1)^nn^2[/tex] è un numero finito se [tex]\sum_{n=0}^\infty (-1)^nn^2[/tex] ha il termine [tex]a_n = n^2 \to 0[/tex] per [tex]n \to \infty[/tex]. questo pero' non accade perche [tex]n^2 \to \infty[/tex] quindi la serie diverge e quindi il limite non esiste?oppure è dato da un insieme [tex]S = \begin{Bmatrix} +\infty,&-\infty \end{Bmatrix}[/tex]?. Sappendo che [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{m\to\infty} \sum_{n=0}^m a_n[/tex] il mio [tex]a_n = n^2 -> \infty[/tex].
Ma se io invece studiassi l'andamento della serie [tex]\sum_{n=0}^\infty |(-1)^n a_{n}|[/tex] sappendo che [tex]\sum_{n=0}^\infty |(-1)^n a_{n}| = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_{n}^+ + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_{n}^-[/tex] servirebbe a qualcosa?
una serie [tex]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_{n}[/tex] converge se [tex]a_n \to 0[/tex]. Quindi nell'esempio che ho fatto io : [tex]\lim_{n \to \infty} (-1)^nn^2[/tex] è un numero finito se [tex]\sum_{n=0}^\infty (-1)^nn^2[/tex] ha il termine [tex]a_n = n^2 \to 0[/tex] per [tex]n \to \infty[/tex]. questo pero' non accade perche [tex]n^2 \to \infty[/tex] quindi la serie diverge e quindi il limite non esiste?oppure è dato da un insieme [tex]S = \begin{Bmatrix} +\infty,&-\infty \end{Bmatrix}[/tex]?. Sappendo che [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{m\to\infty} \sum_{n=0}^m a_n[/tex] il mio [tex]a_n = n^2 -> \infty[/tex].
Ma se io invece studiassi l'andamento della serie [tex]\sum_{n=0}^\infty |(-1)^n a_{n}|[/tex] sappendo che [tex]\sum_{n=0}^\infty |(-1)^n a_{n}| = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_{n}^+ + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_{n}^-[/tex] servirebbe a qualcosa?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo