Come si chiama questa disuguaglianza...

[Chevtchenko]

Salve, qualcuno conosce il nome di questa disuguaglianza: $|a+b|^p \le 2^{p-1}(|a|^p + |b|^p)$?

[ciampax]

Sembra la disuguaglianza di Minkowski.

Edit: no, ora che mi rendo conto, questa è una semplice disuguaglianza algebrica che serve a dimostrare quella di Minkowski. Non credo abbia un nome.

[amel3]

Io di solito ho visto questa disuguaglianza:
$|a+b|^p + |a-b|^p<=2^{p-1} (|a|^p + |b|^p), \ \forall a,b \in \mathbb{C}, \ 2<=p<+oo$.
E' la stessa cosa?
Se sì, visto che spesso si cita per dimostrare le disuguaglianze di Clarkson, probabilmente sarà dovuta a Clarkson, ma anche per me non ha nome... boh (risposta esaustiva ).

P.S.(ciampax): Riguardando alcuni miei appunti, ho visto che lì ho una dimostrazione della disuguaglianza di Minkowski usando la dis. di Holder (che a sua volta viene provata dalla dis. di Young). Esiste una dim. che usa invece questa disuguaglianza?

[ciampax]

Sostanzialmente, usi questa per affermare che se $f$ e $g$ hanno $p$-norma finita, allora a nche la loro somma ce l'ha e quindi puoi procedere a dimostrare la disuguaglianza di Minkowski usando quella di Holder.

[amel3]

Ah già è vero che esiste anche quella integrale... in effetti l'avevamo vista in un'altro modo... grazie ciao

[gugo82]

"Chevtchenko":Salve, qualcuno conosce il nome di questa disuguaglianza: $|a+b|^p \le 2^{p-1}(|a|^p + |b|^p)$?

Semplicemente è la convessità della potenza $t^p$ unita alla disuguaglianza triangolare... Non so se ha un nome preciso.

[ViciousGoblin]

"Gugo82":[quote="Chevtchenko"]Salve, qualcuno conosce il nome di questa disuguaglianza: $|a+b|^p \le 2^{p-1}(|a|^p + |b|^p)$?

Semplicemente è la convessità della potenza $t^p$ unita alla disuguaglianza triangolare... Non so se ha un nome preciso.[/quote]

Mi piace di piu' vederla come la convessita' di $|t|^p$ unita alla $p$-omogeneita'.
Infatti da $|x/2+y/2|^p\leq |x|^p/2 + |y|^p/2$ esce la disuguaglianza moltiplicando per $2^p$

Tanto per dirne una anch'io ... .

[gugo82]

"ViciousGoblin":[quote="Gugo82"][quote="Chevtchenko"]Salve, qualcuno conosce il nome di questa disuguaglianza: $|a+b|^p \le 2^{p-1}(|a|^p + |b|^p)$?

Semplicemente è la convessità della potenza $t^p$ unita alla disuguaglianza triangolare... Non so se ha un nome preciso.[/quote]

Mi piace di piu' vederla come la convessita' di $|t|^p$ unita alla $p$-omogeneita'.
Infatti da $|x/2+y/2|^p\leq |x|^p/2 + |y|^p/2$ esce la disuguaglianza moltiplicando per $2^p$

Tanto per dirne una anch'io ... .[/quote]
La disuguaglianza triangolare la usavo qui $|x+y|^p<=(|x|+|y|)^p$, anche se è evidente che per $p>=1$ la funzione $|t|^p$ è convessa (e non serve molto altro).

[ViciousGoblin]

@Gugo - avevo capito come usavi la dis. triangolare - mi pare comunque che l'omogeneita' di ordine $p$ debba servire (ma forse mi sbaglio)

Tanto per fare le cose complicate (ma magari e' gia' stato detto) direi che la diseguaglianza in esame
E' (una conseguenza del) LA DISEGUAGLIANZA DI HOELDER.

Infatti se $1/p+1/q=1$

$\sum_{i=1}^2|a_i|\leq(\sum_{i=1}^2 1^q)^{1/q}(\sum_{i=1}^2 |a_i|^p)^{1/p}=2^{1/q}(\sum_{i=1}^2 |a_i|^p)^{1/p}$

elevando alla $p$ (e notando che $1/q=1-1/p={p-1}/p$) viene

$(\sum_{i=1}^2|a_i|)^p\leq 2^{p/q}\sum_{i=1}^2 |a_i|^p=2^{p-1}\sum_{i=1}^2 |a_i|^p$

Scusate ma non ho altro da fare stasera ....

[gugo82]

"ViciousGoblin":@Gugo - avevo capito come usavi la dis. triangolare - mi pare comunque che l'omogeneita' di ordine $p$ debba servire (ma forse mi sbaglio)

Sisi, certo che serve (al primo membro)... Ho illustrato dove usavo la triangolare perchè pensavo di aver detto una vaccata.