Come si calcolano le derivate parziali miste?

[Darèios89]

Supponiamo di avere:


[tex]x^3+3y^3+x[/tex]

Avrò:

[tex]fx=3x^2+1[/tex]

[tex]fy=9y^2[/tex]
[tex]fxx=6x[/tex]
[tex]fyy=18y[/tex]

Ma come si calcolano fxy e fyx?

P.S. fxy è la derivata parziale mista di f rispetto ad x?
P.S. fyx è la derivata parziale mista di f rispetto a y?

[Hawk88]

Le derivate parziali $fxy$ e $fyx$ sono le derivate seconde miste rispettivamente rispetto a $y$ e rispetto a $x$.

$fxy$ si calcola derivando rispetto a $y$ la derivata prima $fx$, cioè devi considerare costanti i termini con la $x$ e derivare, appunto, rispetto a $y$.

$fyx$ si calcola derivando rispetto a $x$ la derivata prima $fy$, cioè devi considerare costanti i termini con la $y$ e derivare, appunto, rispetto a $x$.

Nel caso da te riportato in cui abbiamo:

$f(x,y) = x^3 + 3y^3 + x$

avremo che le derivate parziali $fxy$ e $fyx$ sono:

$fx = 3x^2 + 1 $

$fy = 9y^2 $

$fxy = 0$

$fyx = 0$

Ricorda, inoltre, che queste derivate miste $fxy$ e $fyx$ devono coincidere, per il Teorema di Schwarz.

[Darèios89]

Ah ok ti ringrazio, ma il teorema di Schwartz dice che coincidono se sono continue, le derivate saranno sempre continue o devo verificarlo?

[dissonance]

[OT]E' il teorema di Schwarz non di Schwartz. Sono due persone diverse.[/OT]

[Hawk88]

Beh, se ti chiede di calcolare i massimi e minimi relativi, la funzione e le sue derivate successive saranno necessariamente continue!

[dissonance]

"Hawk88":Beh, se ti chiede di calcolare i massimi e minimi relativi, la funzione e le sue derivate successive saranno necessariamente continue!

Ah si? E perché? Se per esempio mi venisse lo sghiribizzo di calcolare massimo e minimo relativo di $f(x, y)={(1, (x, y)=(0,0)), (0, (x, y)!=(0,0)):}$, che faccio? non posso?

[lilengels]

ragazzi scusate ma ho un dubbio: se la funzione non è continua in un punto (x0,y0) potrà avere derivate parziali in quel punto?
grazie

[dissonance]

si, ma di sicuro non sarà differenziabile. Esempio scemo:

\[f(x, y)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 1 & y=0 \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases}\]

con \((x_0, y_0)=(0,0).\)

[Plepp]

"dissonance":[OT]E' il teorema di Schwarz non di Schwartz. Sono due persone diverse.[/OT]

Devi essere più delicato quando dai queste notizie mi stava per prendere un colpo

[eugie-votailprof]

"Hawk88":Le derivate parziali $fxy$ e $fyx$ sono le derivate seconde miste rispettivamente rispetto a $y$ e rispetto a $x$.

$fxy$ si calcola derivando rispetto a $y$ la derivata prima $fx$, cioè devi considerare costanti i termini con la $x$ e derivare, appunto, rispetto a $y$.

$fyx$ si calcola derivando rispetto a $x$ la derivata prima $fy$, cioè devi considerare costanti i termini con la $y$ e derivare, appunto, rispetto a $x$.

Nel caso da te riportato in cui abbiamo:

$f(x,y) = x^3 + 3y^3 + x$

avremo che le derivate parziali $fxy$ e $fyx$ sono:

$fx = 3x^2 + 1 $

$fy = 9y^2 $

$fxy = 0$

$fyx = 0$

Ricorda, inoltre, che queste derivate miste $fxy$ e $fyx$ devono coincidere, per il Teorema di Schwarz.

Ciao! Qualcuno potrebbe fare lo svolgimento passo passo della derivata parziale mista xy o yx? Non riesco ad arrivare al risultato $fxy = fyx = 0$.
Per quanto le definizioni di Hawk88 siano chiare, non riesco ad applicarle. Quindi forse non le ho davvero capite.

Grazie

[eugie-votailprof]

Guarda, mi è tutto chiaro...tranne le due derivate parziali miste. Non riesco proprio a capire il procedimento.

"TeM":

$f_{x y}(x,y) = (\partial^2 f)/(\partial x \partial y) (x, y) = (\partial f_y)/(\partial x) (x,y) = \partial/(\partial x) (9y^2) = 0$

$f_{y x}(x,y) = (\partial^2 f)/(\partial y \partial x) (x, y) = (\partial f_x)/(\partial y) (x,y) = \partial/(\partial y) (3x^2 + 1) = 0$

[eugie-votailprof]

Come non detto, ci sono arrivata. Mi mancava il fondamentale passaggio secondo cui devo derivare solo quando sono presenti entrambe le variabili contemporaneamente.

Grazie ugualmente!