Come si calcola la somma di una serie di potenze?
Ciao a tutti, devo calcolare la somma di una serie di potenze. Quali sono i vari metodi per calcolarla? E in una domanda di questo tipo per esempio ad un orale cosa potrei rispondere? Sul mio libro di testo questa parte non c'è e su internet purtroppo non ho trovato nulla di chiaro.. Grazie.. 
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Risposte
Per calcolare la somma di una serie di potenze devi cercare di ricondurti a sviluppi noti (tipo geometrica, esponenziale, seno, coseno ecc.). Prova a postare un esempio.
"maxsiviero":
Per calcolare la somma di una serie di potenze devi cercare di ricondurti a sviluppi noti (tipo geometrica, esponenziale, seno, coseno ecc.). Prova a postare un esempio.
Un'esercizio é:
$\sum$$\frac{n+1}{\pi^{n}}(3|x-1|)^{n}$
da n=0 a n = + infinito, calcolare la somma della serie in x=0. Grazie mille ..
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Io farei così: poniamo \(k=n+1\). La tua serie diventa:
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{\pi^{n}}3^{n}=\sum_{k=1}^{+\infty}k\left(\frac{3}{\pi}\right)^{k-1}
\]
Adesso dovresti riconoscere la derivata della serie geometrica (ricordo che \(\frac{3}{\pi}<1\)) e concludi che la somma è
\[
S=\frac{1}{\left(1-\frac{3}{\pi}\right)^{2}}
\]
Spero di non aver sbagliato i conti
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{\pi^{n}}3^{n}=\sum_{k=1}^{+\infty}k\left(\frac{3}{\pi}\right)^{k-1}
\]
Adesso dovresti riconoscere la derivata della serie geometrica (ricordo che \(\frac{3}{\pi}<1\)) e concludi che la somma è
\[
S=\frac{1}{\left(1-\frac{3}{\pi}\right)^{2}}
\]
Spero di non aver sbagliato i conti
"maxsiviero":
Io farei così: poniamo \(k=n+1\). La tua serie diventa:
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{\pi^{n}}3^{n}=\sum_{k=1}^{+\infty}k\left(\frac{3}{\pi}\right)^{k-1}=\left[\sum_{k=0}^{+\infty}k\left(\frac{3}{\pi}\right)^{k-1}\right]-1
\]
Adesso tra parentesi quadre dovresti riconoscere la derivata della serie geometrica (ricordo che \(\frac{3}{\pi}<1\)) e concludi che la somma è
\[
S=\frac{1}{\left(1-\frac{3}{\pi}\right)^{2}}-1
\]
Spero di non aver sbagliato i conti
Il risultato è giusto a parte il meno uno, dovrebbe esserci solo la frazione.. Mi potresti spiegare i passaggi, perchè sono quelli che non riesco a capire.. Grazie mille..
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Avevo sbagliato l'indice di partenza della serie. Adesso ho corretto. Fino alla sostituzione che ho fatto non dovresti avere problemi. Poi ho derivato la serie geometrica rispetto ad \(n\)
\[
\frac{d}{dn}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}z^{n}\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}nz^{n-1}
\]
E siccome la serie geometrica converge per \(|z|<1\) a \(\frac{1}{1-z}\) avrai che la sua derivata converge (sempre per \(|z|<1\)) a \(\frac{d}{dz}\left[\frac{1}{1-z}\right]=\frac{1}{(1-z)^{2}}\)
\[
\frac{d}{dn}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}z^{n}\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}nz^{n-1}
\]
E siccome la serie geometrica converge per \(|z|<1\) a \(\frac{1}{1-z}\) avrai che la sua derivata converge (sempre per \(|z|<1\)) a \(\frac{d}{dz}\left[\frac{1}{1-z}\right]=\frac{1}{(1-z)^{2}}\)
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