Come si calcola la somma approssimata di una serie?
Ciao,
da qualche settimana sono alle prese con lo studio di analisi, mi sono imbattuto in un esercizio che mi chiede di calcolare la somma approssimata a meno di 1/200 di questa serie:
$ sum_(n = 2)^(oo ) (-1)^n *(n/(n^2-1)) $
mi potreste aiutare a capire come calcolare l'approssimazione?
se ho capito, $ |S - sn| < 1/200 $
con sn somma parziale e S somma totale
quindi per calcolare S devo solo risolvere la disequazione?
l'esercizio non mostra il risultato e quindi non so confrontare se faccio bene...
da qualche settimana sono alle prese con lo studio di analisi, mi sono imbattuto in un esercizio che mi chiede di calcolare la somma approssimata a meno di 1/200 di questa serie:
$ sum_(n = 2)^(oo ) (-1)^n *(n/(n^2-1)) $
mi potreste aiutare a capire come calcolare l'approssimazione?
se ho capito, $ |S - sn| < 1/200 $
con sn somma parziale e S somma totale
quindi per calcolare S devo solo risolvere la disequazione?
l'esercizio non mostra il risultato e quindi non so confrontare se faccio bene...
Risposte
La vedo difficile in questo modo: per prima cosa non sai quanto vale $S$, per cui hai parecchie incognite in quella disequazione. Punto due, considerando che $S=\sum_{n=2}^N (-1)^n\cdot n/{n^2-1}+\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^n\cdot n/{n^2-1}$, quello che ha scritto equivale a scrivere
$|\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^n\cdot n/{n^2-1}|<1/{200}$
Qui potresti provare ad ingegnarti nel determinare un $N$ che soddisfi alla tua richiesta: cosa suggerisci?
$|\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^n\cdot n/{n^2-1}|<1/{200}$
Qui potresti provare ad ingegnarti nel determinare un $N$ che soddisfi alla tua richiesta: cosa suggerisci?
Ciao,
perdonami per il ritardo, mi potresti dire se sta bene così?
$ sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n (n/(n^2-1)) ~~ sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n (n/(n^2)) =
sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n |(1/n)| $
la serie è divergente perchè si riconduce ad una serie arominca con l'esponente del denominatore pari ad 1,
ora devo considerare una somma approssimata a meno di 1/200 e pongo una maggiorazione:
$1/(n+1) <= 1/200 $
che diventa
$ 1/(n+1) * 200 <= 1 $
$ n>= 199$
quindi una somma approssimata è di n maggiore di 199, è giusto?
perdonami per il ritardo, mi potresti dire se sta bene così?
$ sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n (n/(n^2-1)) ~~ sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n (n/(n^2)) =
sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n |(1/n)| $
la serie è divergente perchè si riconduce ad una serie arominca con l'esponente del denominatore pari ad 1,
ora devo considerare una somma approssimata a meno di 1/200 e pongo una maggiorazione:
$1/(n+1) <= 1/200 $
che diventa
$ 1/(n+1) * 200 <= 1 $
$ n>= 199$
quindi una somma approssimata è di n maggiore di 199, è giusto?
"nrush":
Ciao,
perdonami per il ritardo, mi potresti dire se sta bene così?
$ sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n (n/(n^2-1)) ~~ sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n (n/(n^2)) =
sum_(n = 2)^(oo) (-1)^n |(1/n)| $
la serie è divergente perchè si riconduce ad una serie arominca con l'esponente del denominatore pari ad 1,
ora devo considerare una somma approssimata a meno di 1/200 e pongo una maggiorazione:
$1/(n+1) <= 1/200 $
che diventa
$ 1/(n+1) * 200 <= 1 $
$ n>= 199$
quindi una somma approssimata è di n maggiore di 199, è giusto?
Falso: in questo caso la serie è a termini di segno alterno ed utilizzando il criterio di Leibniz risulta immediato confermare che converge. Anche perché se divergesse tutto il resto sarebbe inutile, non credi?
Inoltre, non ho ben capito cosa vuoi fare imponendo quel $1/{n+1}\le 1/{200}$...
allora per quanto riguarda la convergenza hai perfettamente ragione, ho capito per quanto riguarda il criterio di Leibniz, però per la somma approssimata proprio non riesco a capire cosa bisogna fare.. mi potresti suggerire quache dispensa o qualche link dove posso recuperare informazioni?
ok ho risolto,
grazie mille per la disponibilità
grazie mille per la disponibilità
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