Come scrivo questa serie??
Salve a tutti, in un esercizio sulla trasformata Z ho questa funzione:
$cos^4(n pi/2)$
Studiandone il comportamento essa vale zero per gli n dispari e 1 per gli n pari. Non riesco però a capire come posso scrivere la successione an che rispetti queste caratteristiche.
Potreste dirmelo voi?? Grazie mille
$cos^4(n pi/2)$
Studiandone il comportamento essa vale zero per gli n dispari e 1 per gli n pari. Non riesco però a capire come posso scrivere la successione an che rispetti queste caratteristiche.
Potreste dirmelo voi?? Grazie mille
Risposte
Ma direi che si può usare qualcosa del tipo [tex]$\tfrac{(-1)^n+1}{2}$[/tex], no?
anch'io avevo pensato ad una cosa del genere, però in un esercizio sul libro c'è una situazione simile:
an = 0 se n pari, $1/2^n$ se n dispari
e scrive la serie come
$ sum 1/2^(2k+1) $
an = 0 se n pari, $1/2^n$ se n dispari
e scrive la serie come
$ sum 1/2^(2k+1) $
E che c'azzeca? (cit.) verrebbe da dire... 
La successione:
[tex]$a_n:=\begin{cases} 0 &\text{, se $n$ è pari} \\ \frac{1}{2^n} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}$[/tex]
si può esplicitare come segue: visto che gli [tex]$n$[/tex] pari sono del tipo [tex]$2k$[/tex] e quelli dispari del tipo [tex]$2k+1$[/tex], abbiamo:
[tex]$a_n:=\begin{cases} 0 &\text{, se $n=2k$ per $k\in \mathbb{N}$} \\ \frac{1}{2^{2k+1}} &\text{, se $n=2k+1$ per $k\in \mathbb{N}$}\end{cases}$[/tex],
non trovi?
Ma non capisco che legame vedi tra le due cose... Forse qualcosa di simile? Detta [tex]$\alpha_n:=\cos^4 \tfrac{n\pi}{2}$[/tex] abbiamo, come già notato, [tex]$(\alpha_n)=(1,0,1,0,1,0,\ldots,1,0,\ldots)$[/tex], di conseguenza puoi scrivere:
[tex]$a_n=\frac{1}{2^n}\alpha_{n+1}$[/tex],
in quanto:
[tex]$(a_n)=(0,\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{8},\ldots,0,\tfrac{1}{2^{2k+1}},\ldots)=(1\cdot 0,\tfrac{1}{2}\cdot 1,\tfrac{1}{4}\cdot 0,\tfrac{1}{8}\cdot 1,\ldots,\tfrac{1}{2^{2k}}\cdot 0,\tfrac{1}{2^{2k+1}}\cdot 1,\ldots)=(\tfrac{1}{2^n}\alpha_{n+1})$[/tex].
Ovviamente, se per [tex]$\alpha_n$[/tex] usiamo l'espressione esplicita [tex]$\tfrac{1+(-1)^n}{2}$[/tex], hai:
[tex]$a_n=\tfrac{1}{2^n} \frac{1+(-1)^{n+1}}{2}=\frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$[/tex],
quindi:
[tex]$a_n=\begin{cases} 0 &\text{, se $n$ è dispari} \\ \frac{1}{2^n} &\text{, se $n$ è pari}\end{cases}$[/tex],
e siamo sempre lì.
Quindi non so cosa ci possa essere di tanto strano nell'espressione esplicita che ti ho proposto...
Ma probabilmente il punto non era questo?
Spiegati meglio.
La successione:
[tex]$a_n:=\begin{cases} 0 &\text{, se $n$ è pari} \\ \frac{1}{2^n} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}$[/tex]
si può esplicitare come segue: visto che gli [tex]$n$[/tex] pari sono del tipo [tex]$2k$[/tex] e quelli dispari del tipo [tex]$2k+1$[/tex], abbiamo:
[tex]$a_n:=\begin{cases} 0 &\text{, se $n=2k$ per $k\in \mathbb{N}$} \\ \frac{1}{2^{2k+1}} &\text{, se $n=2k+1$ per $k\in \mathbb{N}$}\end{cases}$[/tex],
non trovi?
Ma non capisco che legame vedi tra le due cose... Forse qualcosa di simile? Detta [tex]$\alpha_n:=\cos^4 \tfrac{n\pi}{2}$[/tex] abbiamo, come già notato, [tex]$(\alpha_n)=(1,0,1,0,1,0,\ldots,1,0,\ldots)$[/tex], di conseguenza puoi scrivere:
[tex]$a_n=\frac{1}{2^n}\alpha_{n+1}$[/tex],
in quanto:
[tex]$(a_n)=(0,\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{8},\ldots,0,\tfrac{1}{2^{2k+1}},\ldots)=(1\cdot 0,\tfrac{1}{2}\cdot 1,\tfrac{1}{4}\cdot 0,\tfrac{1}{8}\cdot 1,\ldots,\tfrac{1}{2^{2k}}\cdot 0,\tfrac{1}{2^{2k+1}}\cdot 1,\ldots)=(\tfrac{1}{2^n}\alpha_{n+1})$[/tex].
Ovviamente, se per [tex]$\alpha_n$[/tex] usiamo l'espressione esplicita [tex]$\tfrac{1+(-1)^n}{2}$[/tex], hai:
[tex]$a_n=\tfrac{1}{2^n} \frac{1+(-1)^{n+1}}{2}=\frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$[/tex],
quindi:
[tex]$a_n=\begin{cases} 0 &\text{, se $n$ è dispari} \\ \frac{1}{2^n} &\text{, se $n$ è pari}\end{cases}$[/tex],
e siamo sempre lì.
Quindi non so cosa ci possa essere di tanto strano nell'espressione esplicita che ti ho proposto...
Ma probabilmente il punto non era questo?
Spiegati meglio.
nono, il punto era che mi sono confuso e mi faccio troppi problemi =) Non capivo perchè per il caso $1/2^n$ la successione non contenesse il caso 0 sui pari ($1/2^(2k+1)$ non vale mai zero, mentre per la successione scritta 1+(-1) ... si
Comunque ho scritto an come mi hai suggerito tu, e quindi per la trasformata Z ho moltiplicato quella quantità per $z^-1$ Il resto è venuto tutto abbastanza semplice poichè l'ho ricondotto ad una forma nota.
Grazie =)
Comunque ho scritto an come mi hai suggerito tu, e quindi per la trasformata Z ho moltiplicato quella quantità per $z^-1$ Il resto è venuto tutto abbastanza semplice poichè l'ho ricondotto ad una forma nota.
Grazie =)
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