Come risolvereste questo problema sui residui?

[enea8210]

VERIVICARE LA VALIDITà DELLA SEGUENTE FORMULA:

$\int_pi^-pif(e^ix)dx$ = $\int_C^f(z)/zdz$
(1.1)


PER OGNI FUNZIONE f(Z) CONTINUA SULLA CIRCOFENRENZA UNITARIA C DEL PIANO COMPLESSO. ORA USARE IL TEOREMA DEI RESIDUI PER RITROVARE LA:

$\int_pi^-pi(cosx)^2dx$ = $\pi$

[elgiovo]

La (1.1), che suppongo fosse $int_(-pi)^(pi) f(e^(ix))"d"x=oint_C (f(z))/(iz) "d"z$, è il tipico cambio di variabile $e^(ix)=z to "d"x=("d"z)/(iz)$ (tra l'altro giustificabile geometricamente).
Quindi $int_(-pi)^(pi)cos^2(x)"d"x=int_(-pi)^(pi)((e^(ix)+e^(-ix))/(2))^2"d"x=oint_C (z+1/z)^2/(4iz) "d"z$, che si valuta facilmente.

[enea8210]

scusa se nn ho risposto prima...ma la notifica era arrivata negli spam...
cmq è proprio da dove ti sei fermato che nn riesco ad andare avanti...potresti farmelo vedere?

[elgiovo]

E' una banale applicazione del teorema dei residui!

$-i oint_C ((z^2+1)^2)/(4z^3) "d"z=2pi * "Res"[((z^2+1)^2)/(4z^3),0]=2pi* 1/2 =pi$.

[enea8210]

scusa ma l'unico polo nn è z=0?!...come fa a venire 1/2?!!!

[elgiovo]

Devi calcolare il residuo di $f(z)$ in $z=0$, ovverosia dove $f(z)$ ha un polo di ordine 3. Visto che ti interessi di integrali, suppongo che tu sappia calcolare i residui.

[enea8210]

bhe io è la prima volta che mi approccio ai residui..pensavo che bastasse trovare per quale valore di z si annullasse il deniminatore...e poi trovare il limite della funzione per z=0 in questo caso

[elgiovo]

Questo è giusto se il polo è semplice. Qui hai un polo di ordine 3. Qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_(complex_analysis) , verso metà pagina, trovi la formula generale nel caso di poli di ordine $n$.

[enea8210]

ah ok..grazie...mi mancava questa cosa...ora ho capito!!