Come risolvereste questo esercizio sulle equazioni differenziali
Ciao, non riesco a capire come affrontare la risoluzione di questo esercizio.
Qualcuno riesce ad essermi di aiuto? Grazie
Si consideri l’equazione differenziale
du/dt=(t*e^u)/(1+t^2)
1 - Trovare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale u(0) = 0.
2 - Dimostrare che la soluzione `e definita in un intervallo del tipo (−∞, T).
Calcolare il valore di T
3 - Calcolare il limite lim t→T − di u(t).
4 - Calcolare il limite lim t→−∞ di u(t).
Dovrei cominciare spostando i vari fattori in modo da avere due integrali, uno a destra e uno a sinistra? E' a varibaili separabili?
Scusate ma questa cosa non riesco proprio a distinguerla?
Grazie a chi mi potrà aiutare.
Qualcuno riesce ad essermi di aiuto? Grazie
Si consideri l’equazione differenziale
du/dt=(t*e^u)/(1+t^2)
1 - Trovare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale u(0) = 0.
2 - Dimostrare che la soluzione `e definita in un intervallo del tipo (−∞, T).
Calcolare il valore di T
3 - Calcolare il limite lim t→T − di u(t).
4 - Calcolare il limite lim t→−∞ di u(t).
Dovrei cominciare spostando i vari fattori in modo da avere due integrali, uno a destra e uno a sinistra? E' a varibaili separabili?
Scusate ma questa cosa non riesco proprio a distinguerla?
Grazie a chi mi potrà aiutare.
Risposte
"alexxander":
Dovrei cominciare spostando i vari fattori in modo da avere due integrali, uno a destra e uno a sinistra? E' a varibaili separabili?
Si, esatto.
Comunque cerca di usare le formule che sennò si capisce ben poco.
Ciao alexxander,
Benvenuto sul forum!
Se ho capito bene l'equazione differenziale proposta è la seguente:
$ (du)/dt=(t e^u)/(1+t^2) $
Vorrei innanzitutto farti notare che, facendo seguito a quanto scritto da otta96, ho praticamente riscritto con poche modifiche ciò che hai scritto tu racchiuso fra due simboli di dollaro, però come vedi il risultato è molto diverso...
Si tratta di una (semplice) equazione differenziale ordinaria non lineare del primo ordine a variabili separabili che si può scrivere nella forma seguente:
$- u'(t) e^{- u(t)} = - 1/2 \frac{2t}{t^2 + 1} $
Integrando quest'ultima si ha subito la soluzione seguente:
$u(t) = - ln[c - 1/2 ln(t^2 + 1)] $
Dalla condizione iniziale $u(0) = 0 $ si trova quasi immediatamente che deve essere $c = 1 $, per cui la soluzione del Problema di Cauchy è la seguente:
$u(t) = - ln[1 - 1/2 ln(t^2 + 1)] $
Tale soluzione naturalmente è definita se $1 - 1/2 ln(t^2 + 1) > 0 $
Risolvendo quest'ultima disequazione logaritmica dovresti riuscire a determinare facilmente il valore di $T $ richiesto.
Rileggendo le domande 2, 3 e 4 però, per dare un senso a quel $-\infty $ che compare nell'intervallo, mi sembra probabile che in realtà tu abbia a che fare con segnali, quindi la soluzione in realtà sarà del tipo seguente:
$ u(t) = {(- ln[1 - 1/2 ln(t^2 + 1)] text{ se } t \ge 0),(0 text{ se } t < 0):} $
Benvenuto sul forum!
Se ho capito bene l'equazione differenziale proposta è la seguente:
$ (du)/dt=(t e^u)/(1+t^2) $
$ (du)/dt=(t e^u)/(1+t^2) $
Vorrei innanzitutto farti notare che, facendo seguito a quanto scritto da otta96, ho praticamente riscritto con poche modifiche ciò che hai scritto tu racchiuso fra due simboli di dollaro, però come vedi il risultato è molto diverso...
Si tratta di una (semplice) equazione differenziale ordinaria non lineare del primo ordine a variabili separabili che si può scrivere nella forma seguente:
$- u'(t) e^{- u(t)} = - 1/2 \frac{2t}{t^2 + 1} $
Integrando quest'ultima si ha subito la soluzione seguente:
$u(t) = - ln[c - 1/2 ln(t^2 + 1)] $
Dalla condizione iniziale $u(0) = 0 $ si trova quasi immediatamente che deve essere $c = 1 $, per cui la soluzione del Problema di Cauchy è la seguente:
$u(t) = - ln[1 - 1/2 ln(t^2 + 1)] $
Tale soluzione naturalmente è definita se $1 - 1/2 ln(t^2 + 1) > 0 $
Risolvendo quest'ultima disequazione logaritmica dovresti riuscire a determinare facilmente il valore di $T $ richiesto.
Rileggendo le domande 2, 3 e 4 però, per dare un senso a quel $-\infty $ che compare nell'intervallo, mi sembra probabile che in realtà tu abbia a che fare con segnali, quindi la soluzione in realtà sarà del tipo seguente:
$ u(t) = {(- ln[1 - 1/2 ln(t^2 + 1)] text{ se } t \ge 0),(0 text{ se } t < 0):} $
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