Come risolvere questi limiti ?

[gregoryhottz]

Ciao a tutti, vorrei capire come risolvere i seguenti limiti; non riesco a capire come fare aiutatemi :-( .....grazie :-):
lim xtende3 di (x^(2)-6x+9)/(x^(2)-5x+6)tutta la frazione moltiplicata per cos(2x-1)

lim xtende -infinito di (radice di 4+x^2)/x-cosx

lim xtende -infinito di (radice di x^2+5x+6)-(radice x^2-3x+4)

[Studente Anonimo]

Bada bene che si ha

1)

[math]\small \begin{aligned} \lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2-5x+6} \cos(2x - 1) = \lim_{x\to 3} \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x-2)} \cos(2x - 1) = \dots \end{aligned}\\[/math]

2)

[math]\small \begin{aligned} \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{4+x^2}}{x-\cos x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{|x|\sqrt{\frac{4}{x^2}+1}}{x} = \dots \end{aligned}\\[/math]

3)

[math]\small \begin{aligned} \lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+5x+6}-\sqrt{x^2-3x+4} = \lim_{x\to -\infty} \frac{\left(x^2+5x+6\right)-\left(x^2-3x+4\right)}{\sqrt{x^2+5x+6}+\sqrt{x^2-3x+4}} = \dots \end{aligned}\\[/math]

A te "spiegarci il perché" di tali uguaglianze e provare a procedere :)


P.S. cliccando su Cita in questa risposta puoi visionare come scrivere le
formule matematiche in maniera leggibile: te lo consiglio caldamente ;)

[gregoryhottz]

Grazie del consiglio sulle formule, non sapevo come fare; ma cmq non so il perche non ricordo bene ti dispiacerebbe dirmelo e basta cosi so come affrontare gli altri esercizzi ?? ;-)...grazie mille.
P.S: nella seconda che operazione fai e nella terza a cosa ti porta ?? grazie

[Studente Anonimo]

Quelle che ti ho mostrato non sono "formule", dato che per risolvere i limiti occorre
tuttalpiù seguire delle tecniche risolutive ragionando di volta in volta. E' impensabile
sperare di poter calcolare i limiti imparando a memoria una serie di formulette. :)

Per tal motivo sto cercando di farti ragionare, cosicché questi esercizi possano per
davvero tornarti utili per risolverne molti altri "di simili". In particolare, sul primo credo
non ci sia molto da aggiungere, "parla da solo".

Sul secondo, invece, dato che si sta "valutando" un'espressione per x enormi (negative)
occorre capire quali termini non influenzano l'andamento generale e quindi li possiamo
trascurare. E' per questo motivo che a numeratore ho raccolto sotto radice quadrata il
monomio di grado massimo e a denominatore mi sono permesso di "trascurare" il coseno:
infatti quest'ultimo per qualsiasi x, anche enorme, restituisce valori compresi tra -1 e +1
che risultano irrilevanti rispetto a quelli enormi della x a cui è sommato a denominatore.
A questo punto, siamo praticamente arrivati. Ti invito ad esporre il tuo ragionamento che
faresti per concluderlo, giusto o sbagliato che sia.

Sul terzo, dato che siamo di fronte ad una forma indeterminata del tipo

[math]+\infty-\infty[/math]

,
aggiriamo tale ostacolo razionalizzando, ossia dividendo e moltiplicando per la somma
delle stesse radici. Così facendo, a numeratore le radici "spariscono" in quanto è noto
che

[math](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/math]

. A questo punto, la forma indeterminata è stata
debellata ed è sufficiente manipolare un attimino quello che è rimasto, tenendo sempre
presente che siamo interessati a valutare tale quantità per x enormi (negative). Anche qui
ti invito ad esporre i tuoi ragionamenti.

Ciò fatto ne discutiamo assieme e se necessario correggiamo il tiro ;)

[gregoryhottz]

Grazie XD....cmq per le formule intendevo dire che non sapevo prima come tradurre il tutto in linguaggio e simboli matematici e quindi ho scritto a lettere cpt ?.....cmq ok ora è tuto chiaro XD....essendo che ho fatto lo scientifico ne ho mangiati di limiti però adesso non mi viene più immediato il ragionamento o la formula applicativa da utilizzare come prima ;-)...cmq queste le ho risolte grazie, non le scrivo perchè ora è tutto chiaro sarebbe solo una perdita di tempo, però mi daresti un grande aiuto se domani dassi un occhiata ad altri limiti diversi che non riesco ad inquadrare. Grazie mille :-) ci conto.

[Studente Anonimo]

Io o comunque qualcun'altro ti darà sicuramente una mano. Però, ecco, ti chiedo la
cortesia di scrivere i tuoi tentativi di risoluzione; ti assicuro che così facendo si impara
un sacco di più dato che possiamo localizzare i tuoi errori (le tue eventuali lacune)
e conseguentemente focalizzare le risposte su tali aspetti lasciando in ombra il resto ;)