Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.
Salve a tutti, sono nuovo del forum e ho bisogno di aiuto per risolvere come da titolo un integrale curvilineo senza parametro, premetto che quelli con il parametro ho capito come vanno svolti ma sono incappato in questo (che è di una prova d'esame) che non riesco a risolvere, adesso non so se sbaglio metodo oppure è proprio impossibile! L'esercizio è questo, testuale:
Calcolare:
$\Gamma int_(A)^(B) (senx)/(3y^2+1) dx$
dove $\Gamma$ è la curva di equazione $y=cosx$, A è il punto di $\Gamma$ di ascissa 0 e B è il punto di $\Gamma$ di ascissa $pi/2$
Ho provato a sostituire $cosx$ alla $y$ e poi a moltiplicare per $sqrt (1+(y')^2)$ ma facendo i calcoli mi esce un mostro di integrale che non so risolvere, quindi chiedo a chi ne sa molto più di me qual'è il modo giusto di impostare e risolvere integrali curvilinei di questo tipo!
Grazie mille a chi saprà aiutarmi!
Calcolare:
$\Gamma int_(A)^(B) (senx)/(3y^2+1) dx$
dove $\Gamma$ è la curva di equazione $y=cosx$, A è il punto di $\Gamma$ di ascissa 0 e B è il punto di $\Gamma$ di ascissa $pi/2$
Ho provato a sostituire $cosx$ alla $y$ e poi a moltiplicare per $sqrt (1+(y')^2)$ ma facendo i calcoli mi esce un mostro di integrale che non so risolvere, quindi chiedo a chi ne sa molto più di me qual'è il modo giusto di impostare e risolvere integrali curvilinei di questo tipo!
Grazie mille a chi saprà aiutarmi!
Risposte
Ciao a tutti !
Sono di passaggio
Siccome $y = cos x$, ne segue che $dy = -sinx\ dx $.
Sostituisci il $dx$ del tuo integrale con un $dy$ appropriato, occhio agli estremi di integrazione, ...et voila'.
Sono di passaggio
Siccome $y = cos x$, ne segue che $dy = -sinx\ dx $.
Sostituisci il $dx$ del tuo integrale con un $dy$ appropriato, occhio agli estremi di integrazione, ...et voila'.
Ehi ciao Quinzio!!! Quanto tempo.
"dissonance":
Ehi ciao Quinzio!!! Quanto tempo.
Ciao !
Sono vivo...
"Quinzio":
Ciao a tutti !
Sono di passaggio
Siccome $y = cos x$, ne segue che $dy = -sinx\ dx $.
Sostituisci il $dx$ del tuo integrale con un $dy$ appropriato, occhio agli estremi di integrazione, ...et voila'.
Grazie della risposta! Ma vorrei capire una cosa, visto che è un integrale curvilineo devo mettere la derivata della y sotto radice ($sqrt(1+(y')^2)$) e quindi otterrei $int_(0)^(pi/2) (senx)/(3cos^2x+1)sqrt(1+sen^2x) dx $ a questo punto poi lo devo svolgere per sostituzione? quindi trovando una nuova $y=f(x)$ e $dy=f(x)' dx$ ? oppure già il dato dell'esercizio $y=cosx$ è la sostituzione per risolverlo?
Lo so che sto rompendo le scatole ma mi serve per capire bene come muovermi quando devo risolvere questo tipo di integrali...
Puoi procedere calcolando semplicemente il seguente integrale:
$\int_{0}^{\pi/2}(sinx)/(3cos^2x+1)dx$
Guarda, dasvidanke, che stai integrando una forma differenziale lineare, non una funzione scalare, su una curva... In altri termini, stai usando una formula non corretta per il calcolo che vuoi svolgere.
Ciao dasvidanke,
Benvenuto sul forum!
Risolverei l'integrale indefinito relativo a quello definito suggerito da @anonymous_0b37e9 facendo uso proprio della posizione $y := cos x \implies dy = - sin x dx $ di cui al primo post di Quinzio, per cui si ha:
$int (sinx)/(3cos^2x+1) dx = - int dy/(3y^2 + 1) = - int dy/(1 + (sqrt{3}y)^2) = - 1/sqrt{3} int (d(sqrt{3} y))/(1 + (sqrt{3}y)^2) = $
$ = - frac{arctan(sqrt{3} y)}{sqrt{3}} + c = - frac{arctan(sqrt{3} cos x)}{sqrt{3}} + c $
Dunque si ha:
$ int_{0}^{\pi/2}(sinx)/(3cos^2x+1)dx = [- frac{arctan(sqrt{3} cos x)}{sqrt{3}}]_0^{\pi/2} = 0 + frac{arctan(sqrt{3})}{sqrt{3}} = frac{\pi}{3 sqrt{3}} $
Benvenuto sul forum!
Risolverei l'integrale indefinito relativo a quello definito suggerito da @anonymous_0b37e9 facendo uso proprio della posizione $y := cos x \implies dy = - sin x dx $ di cui al primo post di Quinzio, per cui si ha:
$int (sinx)/(3cos^2x+1) dx = - int dy/(3y^2 + 1) = - int dy/(1 + (sqrt{3}y)^2) = - 1/sqrt{3} int (d(sqrt{3} y))/(1 + (sqrt{3}y)^2) = $
$ = - frac{arctan(sqrt{3} y)}{sqrt{3}} + c = - frac{arctan(sqrt{3} cos x)}{sqrt{3}} + c $
Dunque si ha:
$ int_{0}^{\pi/2}(sinx)/(3cos^2x+1)dx = [- frac{arctan(sqrt{3} cos x)}{sqrt{3}}]_0^{\pi/2} = 0 + frac{arctan(sqrt{3})}{sqrt{3}} = frac{\pi}{3 sqrt{3}} $
@pilloeffe: il risultato è giusto ma lasciami fare un po' il rompipalle, che come dice Gugo (in un altro post) qua gli anni passano e sennò si invecchia aggratis:
Quei due punti prima dell'uguale mi fanno strano. Già è una scrittura non proprio felicissima, ma qui è proprio a sproposito. In generale se vedo i due punti io capisco che stai assegnando un valore ad una variabile, come in informatica. Ma qui non stai facendo questo, perché stai praticando una sostituzione, quindi stai facendo una manipolazione formale per riscrivere l'integrale in un'altra forma. Alla fine della fiera, il simbolo \(y\) denoterà la variabile di integrazione del nuovo integrale, quindi non lo hai bloccato su un valore fisso.
Insomma, quei due punti non ci vanno, secondo me.
\(y:=\cos x\)
Quei due punti prima dell'uguale mi fanno strano. Già è una scrittura non proprio felicissima, ma qui è proprio a sproposito. In generale se vedo i due punti io capisco che stai assegnando un valore ad una variabile, come in informatica. Ma qui non stai facendo questo, perché stai praticando una sostituzione, quindi stai facendo una manipolazione formale per riscrivere l'integrale in un'altra forma. Alla fine della fiera, il simbolo \(y\) denoterà la variabile di integrazione del nuovo integrale, quindi non lo hai bloccato su un valore fisso.
Insomma, quei due punti non ci vanno, secondo me.
Ciao dissonance,
Se trovi qualcuno che ti paga per invecchiare fammi sapere che mi interessa...
Accetto l'osservazione: ero nel dubbio anch'io se metterli per far capire che si comporta come una posizione, oppure no perché comunque già dall'inizio è $y = cos x $. In effetti in caso di dubbio è comunque meglio non metterli, visto che fra l'altro si tratta di una notazione che spesso non convince.
Facciamo così, correggo il mio post nel senso da te indicato, che tanto la sostanza non cambia.
Ops, come non detto: non compare più il pulsante modifica per il post...
"dissonance":
qua gli anni passano e sennò si invecchia aggratis:
Se trovi qualcuno che ti paga per invecchiare fammi sapere che mi interessa...
Accetto l'osservazione: ero nel dubbio anch'io se metterli per far capire che si comporta come una posizione, oppure no perché comunque già dall'inizio è $y = cos x $. In effetti in caso di dubbio è comunque meglio non metterli, visto che fra l'altro si tratta di una notazione che spesso non convince.
Facciamo così, correggo il mio post nel senso da te indicato, che tanto la sostanza non cambia.
Ops, come non detto: non compare più il pulsante modifica per il post...
Grazie mille a tutti dell'aiuto! @gugo82 @pilloeffe Perdonate il mio errore ma li sto ancora studiando e non avevo capito che la $sqrt(1+(f')^2)$ in questo caso non andava messa, mi potreste spiegare gentilmente quando va messa la velocità, cioè $sqrt(1+(f')^2)$ oppure $sqrt((x')^2+(y')^2)$ ? Perché i pochi esempi che ho visto sul mio libro mettevano la seconda radice in presenza di parametri mentre la prima radice quando veniva data una funzione di di quel tipo ($y=cosx$), e quindi nella mia ancora bassa conoscenza ho pensato che andava messo anche in questo caso, ed è per questo che non mi veniva!
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