Come procedere? (limite di successione)

[beluga1]

Ciao a tutti, vorrei mostrarvi il mio tentativo di risoluzione di questo limite. Purtroppo mi sono arenato a questo passaggio, che non mi sembra possa portare molto lontano... il risultato è $+infty$. Potreste mica aiutarmi?

$\lim_{n \to \infty}n(arcsin((n-1)/(n)) - arcsin((n-2)/(n))) = \lim_{n \to \infty}(arcsin(1-(1)/(n))-arcsin(1-(2)/(n)))/(1/n) =$ ponendo $1/n=x$: $\lim_{x \to \0}(arcsin(1-x) -arcsin(1-2x))/x$

L'esercizio andrebbe risolto usando Hopital, Taylor o criterio funzioni --> successioni, oltre a limiti notevoli.

[gugo82]

Credo che il teorema del marchese possa tornare utile.
Prova un po’.

[beluga1]

Ho provato, ma mi pare di essere arrivato a un punto morto... procedendo:
$\lim_{x \to \0}((-1)/(sqrt(1-(1-x)^2)) - (1)/(sqrt(1-(1-2x)^2))(-2) )/(1) = \lim_{x \to \0} -(1)/(sqrt(1-1-x^2+2x)) +2/(sqrt(1-1-4x^2-4x))=\lim_{x \to \0}(-sqrt(-4x^2-4x) +2sqrt(-x^2+2x))/(sqrt(2x-x^2)(sqrt(-4x-4x^2)))= \lim_{x \to \0}-1/(sqrt(2x-x^2)) +2/(sqrt(-4x^2-4x))$
che è una forma $-infty +infty$.
Proverei a sviluppare gli arcsin con Taylor, ma è lecito farlo se i loro argomenti sono diversi da 0?

[gugo82]

Occhio agli errori di segno ed ai passaggi inutili.

Lasciando perdere gli ultimi due membri e riprendendo dal secondo, hai:
\[
\begin{split}
- \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} + \frac{2}{\sqrt{4x-4x^2}} &= \frac{1}{\sqrt{x}\ \sqrt{1-x}} - \frac{1}{\sqrt{x}\ \sqrt{2-x}} \\
&\approx \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}\ \sqrt{2}} \\
&= \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\ \frac{1}{\sqrt{x}} \\
&= \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}\ \frac{1}{\sqrt{x}}\; ,
\end{split}
\]
in cui ho usato l'ovvio fatto che $\sqrt{1-x} \approx 1$ e $\sqrt{2-x} \approx \sqrt{2}$ per $x -> 0^+$.
Di qui si conclude facile.

[beluga1]

Cavolo, hai ragione... grazie mille per l'aiuto!