Come posso risolvere questo integrale?
Il mio dubbio viene dall' esercizio di una serie di Fourier ma riguarda solo la risoluzione di un integrale
Ho la funzione di periodo T=6 (facendo il grafico direi che non è nè pari nè dispari):
$f(x)=\{(0 AAx in(-1,1]uu(2,4)),(1 AAx in(1,2)),(-1 AAx in[4,5)),(-1/2 per x=5):}$
Devo calcolare i coefficienti della serie, per calcolare $a_n$ uso la formula:
$a_n=2/T\int_{0}^{T} f(x)cos(2pinx/T) dx$.
Inserendo i dati e siccome $f=0$ in due intervalli faccio:
$a_n=1/3[\int_{1}^{2} 1*cos(pinx/3) dx + \int_{4}^{5} -1*cos(pinx/3)dx] = $ (saltando un pò di passaggi)
$1/3[pin/3(sen(2/3pin)-sen(pin/3))-pin/3(sen(5/3pin)-sen(4/3pin))]$
e qui mi blocco perchè non so come trattare $n$.
Siccome $ninNN$ la prof a lezione questo problema l'ha risolto sempre così:
$cos(pin)=(-1)^n$ , $cos(-pi-pin)=(-1)^(n+1)$ o facendo altre trasformazioni del genere.
Io qui però non riesco proprio a vedere come trasformare questi seni in qualcosa di più decente. Qualche idea?
Ho la funzione di periodo T=6 (facendo il grafico direi che non è nè pari nè dispari):
$f(x)=\{(0 AAx in(-1,1]uu(2,4)),(1 AAx in(1,2)),(-1 AAx in[4,5)),(-1/2 per x=5):}$
Devo calcolare i coefficienti della serie, per calcolare $a_n$ uso la formula:
$a_n=2/T\int_{0}^{T} f(x)cos(2pinx/T) dx$.
Inserendo i dati e siccome $f=0$ in due intervalli faccio:
$a_n=1/3[\int_{1}^{2} 1*cos(pinx/3) dx + \int_{4}^{5} -1*cos(pinx/3)dx] = $ (saltando un pò di passaggi)
$1/3[pin/3(sen(2/3pin)-sen(pin/3))-pin/3(sen(5/3pin)-sen(4/3pin))]$
e qui mi blocco perchè non so come trattare $n$.
Siccome $ninNN$ la prof a lezione questo problema l'ha risolto sempre così:
$cos(pin)=(-1)^n$ , $cos(-pi-pin)=(-1)^(n+1)$ o facendo altre trasformazioni del genere.
Io qui però non riesco proprio a vedere come trasformare questi seni in qualcosa di più decente. Qualche idea?
Risposte
E niente, prova a vedere cosa succede per $n=0,1,2,3,4,5,6$ e poi generalizza.
Ciao wattbatt,
In realtà la formula da usare in generale è la seguente:
$ a_n = 2/T \int_{c}^{c + T} f(x)cos(2\pi nx/T) \text{d}x $
Nel caso in esame $c = - 1 $ e $T = 6 $. Però ti è andata bene perché $f(x) = 0 $, $ \AAx in (-1,1] $, quindi si può far partire l'integrale da $1$. A me però risulta diversamente:
$a_n = 1/(n\pi) [sin((2 n \pi)/3) - sin((n \pi)/3) + sin((4 n \pi)/3) - sin((5 n \pi)/3)] $
A questo punto si possono usare le formule di prostaferesi del seno e si ottiene:
$a_n = 8/(n\pi) [1 + 2 cos((n \pi)/3)]^2 cos((n \pi)/2) sin^3((n \pi)/6) $
In realtà la formula da usare in generale è la seguente:
$ a_n = 2/T \int_{c}^{c + T} f(x)cos(2\pi nx/T) \text{d}x $
Nel caso in esame $c = - 1 $ e $T = 6 $. Però ti è andata bene perché $f(x) = 0 $, $ \AAx in (-1,1] $, quindi si può far partire l'integrale da $1$. A me però risulta diversamente:
$a_n = 1/(n\pi) [sin((2 n \pi)/3) - sin((n \pi)/3) + sin((4 n \pi)/3) - sin((5 n \pi)/3)] $
A questo punto si possono usare le formule di prostaferesi del seno e si ottiene:
$a_n = 8/(n\pi) [1 + 2 cos((n \pi)/3)]^2 cos((n \pi)/2) sin^3((n \pi)/6) $
"gugo82":
E niente, prova a vedere cosa succede per $n=0,1,2,3,4,5,6$ e poi generalizza.
Provando con $sen(5/3pin)$ viene $0,-sqrt(3),-sqrt(3),0,sqrt(3),sqrt(3),0$, etc..., ma non ho idea di come scrivere questa successione in funzione di n, c'è qualche tecnica o si va solo a intuito?
Io l'unica cosa che so è che per il segno alternato si può fare $(-1)^n$ e basta...
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