Come partireste?
Stabilire per quali valori del parametro $c in RR$ converge il seguente integrale improprio:
$int_o^(+oo) x^2 (2^x)/(3^(cx)+x^4)$
Non riesco a capire in base a che criterio vada scelta la funzione per il confronto asintotico
...
$int_o^(+oo) x^2 (2^x)/(3^(cx)+x^4)$
Non riesco a capire in base a che criterio vada scelta la funzione per il confronto asintotico
...
Risposte
Siano $X := [0, +\infty[$ ed $f_c(x) := x^2 \cdot \frac{2^x}{3^{cx} + x^4}$, per ogni $x \in X$, dove $c$ è un parametro reale. Posto $J(c) := \int_0^{\+infty} f(x) dx =: \lim_{t \to +\infty} \int_0^t f(x) dx$, consideriamo che, se $2/3^c > 1$, allora esiste $K \in \mathbb{R}^+$ tale che $f(x) \ge 1$, se $x > K$, di modo che $J(c)$ è certamente divergente (per confronto). Se invece $2/3^c \le 1$, allora esistono $\alpha, K \in \mathbb{R}^+$ tali che $f(x) \le \alpha \cdot \frac{x^2}{x^4+1}$, per ogni $x > K$. Dunque $J(c)$ converge - ancora per confronto.
"DavidHilbert":
Siano $X := [0, +\infty[$ ed $f_c(x) := x^2 \cdot \frac{2^x}{3^{cx} + x^4}$, per ogni $x \in X$, dove $c$ è un parametro reale. Posto $J(c) := \int_0^{\+infty} f(x) dx =: \lim_{t \to +\infty} \int_0^t f(x) dx$, consideriamo che, se $2/3^c > 1$, allora esiste $K \in \mathbb{R}^+$ tale che $f(x) \ge 1$, se $x > K$, di modo che $J(c)$ è certamente divergente (per confronto). Se invece $2/3^c \le 1$, allora esistono $\alpha, K \in \mathbb{R}^+$ tali che $f(x) \le \alpha \cdot \frac{x^2}{x^2+1}$, per ogni $x > K$. Dunque $J(c)$ converge - ancora per confronto.
Hilbert che teoremi usi? Tieni conto che noi finora li abbiamo risolti tramite confronto asintotico...
Il mio problema purtroppo è che non riesco a capire quale funzione giusta scegliere in base a quali criteri... ora lo sto risolvendo ma tieni conto che le ho provate praticamente tutte: prima ho confrontato con $x^2/2^x$ e ho trovato la convergenza per $c >= 2(ln2)/(ln3)$; poi ho usato $2^x/x^2$ e ho stabilito la divergenza per $c <= 0$; poi dopo stressanti elucubrazioni penso di riuscire a risolverlo usando i risultati di prima e $g(x) = (x^(2)2^x)/3^(cx)$, che non è ancora detto sia giusta... cioè più che altro il procedimento è semplice, quello di cui avrei bisogno è una tecnica per trovare le funzioni più adeguate, anche perchè, facendo a occhio, oltre che la perdita di tempo rischio pure più errori di calcolo...
Il risultato, spero corretto, è che l'integrale converge per $c > (ln2)/(ln3)$... il mio dubbio sulla funzione da scegliere comunque rimane, anche perchè sennò ci metto una vita a fare 'sta roba 
...
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Scusate so che la domanda non è tra le più immediate... ma sapreste aiutarmi, voi che magari siete più allenati del sottoscritto?
"DavidHilbert":
consideriamo che, se $2/3^c > 1$, allora esiste $K \in \mathbb{R}^+$ tale che $f(x) \ge 1$, se $x > K$, di modo che $J(c)$ è certamente divergente (per confronto). Se invece $2/3^c \le 1$, allora esistono $\alpha, K \in \mathbb{R}^+$ tali che $f(x) \le \alpha \cdot \frac{x^2}{x^2+1}$, per ogni $x > K$. Dunque $J(c)$ converge - ancora per confronto.
Scusa sarò scemo io ma non riesco a capire il passaggio
... con che funzioni lo fai il confronto?
"DavidHilbert":
[...] Se invece $2/3^c \le 1$, allora esistono $\alpha, K \in \mathbb{R}^+$ tali che $f(x) \le \alpha \cdot \frac{x^2}{x^2+1}$, per ogni $x > K$. [...]
A denominatore non è $x^2+1$, bensì $x^4+1$. Soliti typos... Correggo subito!
"lore":
Hilbert che teoremi usi? Tieni conto che noi finora li abbiamo risolti tramite confronto asintotico...
Quando parlo di "confronto" non intendo "confronto asintotico". Diversamente scriverei "per confronto asintotico", no?!
Teorema: siano $a \in \mathbb{R}$ ed $f, g: [a, \+infty[ \to \mathbb{R}$ delle funzioni continue tali che, per ogni $x \in [a, +\infty[:$ $0 \le f(x) \le g(x)$. Allora i) $f$ è integrabile in senso improprio in $[a, +\infty[$ se esiste finito $\int_a^{+\infty} g(x) dx$; ii) $g$ non è integrabile in senso improprio in $[a, +\infty[$ se $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ è divergente.
"DavidHilbert":
[quote="lore"]Hilbert che teoremi usi? Tieni conto che noi finora li abbiamo risolti tramite confronto asintotico...
Quando parlo di "confronto" non intendo "confronto asintotico". Diversamente scriverei "per confronto asintotico", no?!
Teorema: siano $a \in \mathbb{R}$ ed $f, g: [a, \+infty[ \to \mathbb{R}$ delle funzioni continue tali che, per ogni $x \in [a, +\infty[:$ $0 \le f(x) \le g(x)$. Allora i) $f$ è integrabile in senso improprio in $[a, +\infty[$ se esiste finito $\int_a^{+\infty} g(x) dx$; ii) $g$ non è integrabile in senso improprio in $[a, +\infty[$ se $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ è divergente.[/quote]
Ok ma ancora non riesco a capire come fai ad ottenere i risultati di sopra... come fai a dire che:
se $2/3^c > 1$, allora esiste $K \in \mathbb{R}^+$ tale che $f(x) \ge 1$, se $x > K$, di modo che $J(c)$ è certamente divergente (per confronto). Se invece $2/3^c \le 1$, allora esistono $\alpha, K \in \mathbb{R}^+$ tali che $f(x) \le \alpha \cdot \frac{x^2}{x^4+1}$, per ogni $x > K$. Dunque $J(c)$ converge - ancora per confronto
...?
"DavidHilbert":
[...] se $2/3^c > 1$, allora esiste $K \in \mathbb{R}^+$ tale che $f(x) \ge 1$, se $x > K$, di modo che [...]
Parli di questo? Beh, è banale! Nelle ipotesi dette su $c$, vale infatti che $\lim_{x \to +\infty} f_c(x) = +\infty$.
"DavidHilbert":
[quote="DavidHilbert"][...] se $2/3^c > 1$, allora esiste $K \in \mathbb{R}^+$ tale che $f(x) \ge 1$, se $x > K$, di modo che [...]
Parli di questo? Beh, è banale! Nelle ipotesi dette su $c$, vale infatti che $\lim_{x \to +\infty} f_c(x) = +\infty$.[/quote]
Ma non mi risolvi niente per c < 0...
"lore":
Ma non mi risolvi niente per c < 0...
Eeeh?!
Scusa, hai provato a risolvere esplicitamente la disequazione $\frac{2}{3^c} > 1$?
"DavidHilbert":
[quote="lore"]
Ma non mi risolvi niente per c < 0...
Eeeh?!
Scusa, hai provato a risolvere esplicitamente la disequazione $\frac{2}{3^c} > 1$?[/quote]Hilbert tutto ciò potra sembrarti banale ma io non riesco a capire come fai a fare 'sto confronto: che funzione scegli per il confronto? come fai a dedurre tutto il resto da quel rapporto? Tieni conto che io sto facendo un corso di analisi del primo anno e questi integrali li ho studiati poco alle superiori, quindi è come se li vedessi per la prima volta e bisogna che mi spieghi bene il ragionamento che fai....
"lore":
Il mio problema purtroppo è che non riesco a capire quale funzione giusta scegliere in base a quali criteri...
Non esiste una tecnica, bisogna far funzionare la testa, non c'è altro. In questo caso è immediato osservare che, se $2/3^c > 1$, ovvero se $c < \frac{\ln(2)}{3}$, allora $f_c$ è definitivamente maggiorata dalla funzione costante $\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to 1$, siccome $\lim_{x \to +\infty} f_c(x) = +\infty$. Questo è sufficiente a provare che l'integrale $\int_0^{+\infty} f_c(x) dx$ è divergente, se appunto $c < \frac{\ln(2)}{3}$. Analogamente si ragiona quando $c \ge \frac{\ln(2)}{3}$.
Alura, io (che sono del primo anno e quindi magari ragiono come lore) ragionerei così, magari male:
- Abbiamo questa funzione, vogliamo capire se l'integrale converge o no...Potremmo calcolare l'integrale e poi eseguire un bel limite, se solo fossimo capaci di farlo...
Dobbiamo quindi guardare i punti in cui la funzione si comporta male (scoppia o altre diavolerie) ed in questo caso il comportamento all'infinito, per vedere se in questi punti la funzione si comporta asintoticamente come qualcosa di integrabile. Poi grazie al teorema del confronto asintotico (o magari grazie al confronto normale), concluderemo.
Nel nostro caso abbiamo solo il comportamento all'infinito come caso critico (il deonominatore non si annulla mai!) , inoltre c'è un numero del tipo $3^(cx)+x^4$ al denominatore, che evidentemente nel nostro caso all'infinito si comporterà come $(3^c)^x$ semprechè $3^c>1$. Quindi si può dire:
-----Se $3^c>1$. legenda:== (vuol dire che le funzioni sono asintoticamente uguali o al max differiscono per una costante)
$ x^2 (2^x)/(3^(cx)+x^4)$== $x^2 (2^x)/3^(cx)$==$ x^2 (2/3^c)^x$
Da cui, se $2/3^c>=1<=>3^c<=2$, l'ultima funzione non ha limite nullo all'infinito, è sempre positiva e quindi non l'integrale non converge;
Se $2/3^c<1$ si noti che chiamato $a=3^c/2>1$, vale definitivamente
$x^2/a^x<1/(x^2)$ da cui la convergenza per confronto.
----Se $3^c<=1$
$x^2 (2^x)/(3^(cx)+x^4)$==$2^x/x^2$
e l'ultima funzione all'infinito và ad infinito, ovvero l'integrale non converge.
Mettendo assieme i casi, l'integrale converge $<=> 3^c>2$...
Spero di non aver detto cazzate... io avrei proceduto così cmq.... vedi te lore se è un buon metodo...
byez
- Abbiamo questa funzione, vogliamo capire se l'integrale converge o no...Potremmo calcolare l'integrale e poi eseguire un bel limite, se solo fossimo capaci di farlo...
Dobbiamo quindi guardare i punti in cui la funzione si comporta male (scoppia o altre diavolerie) ed in questo caso il comportamento all'infinito, per vedere se in questi punti la funzione si comporta asintoticamente come qualcosa di integrabile. Poi grazie al teorema del confronto asintotico (o magari grazie al confronto normale), concluderemo.
Nel nostro caso abbiamo solo il comportamento all'infinito come caso critico (il deonominatore non si annulla mai!) , inoltre c'è un numero del tipo $3^(cx)+x^4$ al denominatore, che evidentemente nel nostro caso all'infinito si comporterà come $(3^c)^x$ semprechè $3^c>1$. Quindi si può dire:
-----Se $3^c>1$. legenda:== (vuol dire che le funzioni sono asintoticamente uguali o al max differiscono per una costante)
$ x^2 (2^x)/(3^(cx)+x^4)$== $x^2 (2^x)/3^(cx)$==$ x^2 (2/3^c)^x$
Da cui, se $2/3^c>=1<=>3^c<=2$, l'ultima funzione non ha limite nullo all'infinito, è sempre positiva e quindi non l'integrale non converge;
Se $2/3^c<1$ si noti che chiamato $a=3^c/2>1$, vale definitivamente
$x^2/a^x<1/(x^2)$ da cui la convergenza per confronto.
----Se $3^c<=1$
$x^2 (2^x)/(3^(cx)+x^4)$==$2^x/x^2$
e l'ultima funzione all'infinito và ad infinito, ovvero l'integrale non converge.
Mettendo assieme i casi, l'integrale converge $<=> 3^c>2$...
Spero di non aver detto cazzate... io avrei proceduto così cmq.... vedi te lore se è un buon metodo...
byez
Il tuo metodo è più che corretto, Thomas, e lo posso usare a parte quell' ==... noi siamo tenuti ad usare la dimostrazione del confronto asintotico facendo il limite del rapporto con la funzione approssimata, e poi traendo le relative conclusioni, benchè sia corretto anche il tuo procedimento. Il mio problema è allenarmi nel trovare le funzioni giuste con cui approssimare il comportamento asintotico; comunque la tua impostazione mi ha fatto capire come procedere con i problemi di questo tipo 
grazie mille per l'aiuto.
grazie mille per l'aiuto.
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