Come mostrare che questo limite non esiste

[borto97]

Ciao a tutti, un esercizio mi chiede di determinare se la funzione $f: \mathbb{R}^2 \to\mathbb{R}$

$\frac{x\sin(y)-y\sin(x)}{x^2 + y^2}$

è continua in $(0,0)$.

Ho calcolato il limite con la restrizione $y = mx$, ottenendo

$$\begin{align}\lim_{x\to 0} \frac{x\sin(mx)-mx\sin(x)}{x^2 + (mx)^2} &= \lim_{x\to 0} \frac{x(\sin(mx)-m\sin(x)}{x^2(1 + m^2)}\\ &= \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+m^2}\bigg[\frac{\sin(mx)}{x}- \frac{m\sin(x)}{x}\bigg] = 0\end{align}$$

Poi, ho provato con la restrizione $y=mx^2$ ottenendo lo stesso $0$. Allora, ho cercato di mostrare che il candidato limite $0$ sia effettivamente il limite. Dopo un po' di tentativi non riusciti mi viene il dubbio e do in pasto il limite a Wolfram, che mi dice che il limite non esiste. Il problema è che non riesco a dimostrare nè che il limite non esiste nè che esiste. Che io sappia si può provare con le coordinate polari (ma non mi sembra il caso) o con delle maggiorazioni... per ora non sono riuscito a trovare una soluzione. Qualcuno ha idee su come procedere? Grazie in anticipo

[spugna2]

Non so, a me viene che il limite esiste Avevo ragionato così:

La funzione $r (t):=sin t /t$ si può estendere con continuità in $0$ ponendo $r(0)=1$, perciò risulta:

$|f (x,y)|=|(xy(r (y)-r (x)))/(x^2+y^2)|<=M |r (y)-r (x)|$

dove $M $ è il valore massimo di $|cos theta sin theta |$, e l'ultima espressione tende chiaramente a $0$.

[borto97]

In effetti anche sviluppando in serie il seno si ottiene che il limite è zero... mi sa che wolfram per l’ennesima volta ha giocato un tiro mancino