Come maneggia gli \(O\)??
Salve, siccome la domanda è dovuta solo ad alcuni \(O\)-grandi di questo esercizio... la metto in matematica di base. Qualcuno potrebbe farmi capire come maneggia gli \(O\)?? Io non ci ho capito na mazza!
Assumi che esiste una costante \( c >0 \) tale che
\[ \psi(x) = x + O(xe^{-c \sqrt{ \log x } } ) \]
Dimostra che
\[ \pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O(xe^{- c' \sqrt{ \log x } } ) \]
Abbiamo che che \( \theta(x) = \psi(x) + O(\sqrt{x} \log x ) \).
Ricordo che
\[ \psi(x) = \sum_{n \leq n} \Lambda(n) \]
e
\[ \theta(x) = \sum_{p \leq x} \log p \]
Allora abbiamo che
\[ \theta(x) = x + O(xe^{-c \sqrt{ \log x } } ) \]
Questo non l'ho capito. Non mi è evidente per nulla che
\[ \sqrt{x} \log x \leq xe^{-c \sqrt{ \log x } } \]
a partire da un certo \(x \) grande.
Poi continua
\[ \pi(x) = \sum_{p \leq x} 1 = \sum_{p \leq x} \frac{1}{\log p} \log p \]
\[ = \int_{3/2}^{x} \frac{1}{\log u} d \sum_{p \leq u} \log p \]
\[ = \frac{1}{\log u} \theta(u) \mid_{3/2}^{x} + \int_{3/2}^{x} \frac{\theta(u)}{u \log^2(u)} du \]
\[ = \frac{x}{\log x} + O(xe^{-c \sqrt{ \log x } } ) + \int_{3/2}^{x} \frac{1}{ \log^2(u)} du + O\left( \displaystyle{\int_{3/2}^{x}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du \right) \]
\[ \overset{1}{=} \operatorname{Li}(x) + O(xe^{-c \sqrt{ \log x } } ) + O\left( \displaystyle{\int_{3/2}^{x}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du \right) \ \ \ \ \ \ (1.1) \]
Fino a qui, questi \(O\), gli ho capiti. Ora arrivano quelli che non capisco troppo bene
Continua poi nel seguente modo, e l'ultimo passaggio... per me è un enorme mistero!!
\[ O\left( \displaystyle{\int_{3/2}^{x}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du \right) = O\left( \displaystyle{\int_{3/2}^{\sqrt{x}}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du + \displaystyle{\int_{\sqrt{x}}^{x}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du \right) = O\left( \sqrt{x} + e^{- c \sqrt{ \log x^{1/2} } } \displaystyle{\int_{3/2}^{x}} 1 du \right) \]
E dunque conclude che (1.1) è uguale a
\[ = \operatorname{Li}(x) + O\left(x e^{- c' \sqrt{ \log x} } \right) \]
Assumi che esiste una costante \( c >0 \) tale che
\[ \psi(x) = x + O(xe^{-c \sqrt{ \log x } } ) \]
Dimostra che
\[ \pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O(xe^{- c' \sqrt{ \log x } } ) \]
Abbiamo che che \( \theta(x) = \psi(x) + O(\sqrt{x} \log x ) \).
Ricordo che
\[ \psi(x) = \sum_{n \leq n} \Lambda(n) \]
e
\[ \theta(x) = \sum_{p \leq x} \log p \]
Allora abbiamo che
\[ \theta(x) = x + O(xe^{-c \sqrt{ \log x } } ) \]
Questo non l'ho capito. Non mi è evidente per nulla che
\[ \sqrt{x} \log x \leq xe^{-c \sqrt{ \log x } } \]
a partire da un certo \(x \) grande.
Poi continua
\[ \pi(x) = \sum_{p \leq x} 1 = \sum_{p \leq x} \frac{1}{\log p} \log p \]
\[ = \int_{3/2}^{x} \frac{1}{\log u} d \sum_{p \leq u} \log p \]
\[ = \frac{1}{\log u} \theta(u) \mid_{3/2}^{x} + \int_{3/2}^{x} \frac{\theta(u)}{u \log^2(u)} du \]
\[ = \frac{x}{\log x} + O(xe^{-c \sqrt{ \log x } } ) + \int_{3/2}^{x} \frac{1}{ \log^2(u)} du + O\left( \displaystyle{\int_{3/2}^{x}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du \right) \]
\[ \overset{1}{=} \operatorname{Li}(x) + O(xe^{-c \sqrt{ \log x } } ) + O\left( \displaystyle{\int_{3/2}^{x}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du \right) \ \ \ \ \ \ (1.1) \]
Fino a qui, questi \(O\), gli ho capiti. Ora arrivano quelli che non capisco troppo bene
Continua poi nel seguente modo, e l'ultimo passaggio... per me è un enorme mistero!!
\[ O\left( \displaystyle{\int_{3/2}^{x}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du \right) = O\left( \displaystyle{\int_{3/2}^{\sqrt{x}}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du + \displaystyle{\int_{\sqrt{x}}^{x}} e^{-c \sqrt{ \log u} } du \right) = O\left( \sqrt{x} + e^{- c \sqrt{ \log x^{1/2} } } \displaystyle{\int_{3/2}^{x}} 1 du \right) \]
E dunque conclude che (1.1) è uguale a
\[ = \operatorname{Li}(x) + O\left(x e^{- c' \sqrt{ \log x} } \right) \]
Risposte
Ciao 3m0o,
... E ci credo! Questa decisamente non è Analisi matematica di base, ha a che fare col Teorema dei numeri primi: ci hanno lavorato negli anni eminenti matematici. Solo per avere un'idea di coloro che ci hanno lavorato nel tempo potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
"3m0o":
[...] la metto in matematica di base. Qualcuno potrebbe farmi capire come maneggia gli O?? Io non ci ho capito na mazza!
... E ci credo! Questa decisamente non è Analisi matematica di base, ha a che fare col Teorema dei numeri primi: ci hanno lavorato negli anni eminenti matematici. Solo per avere un'idea di coloro che ci hanno lavorato nel tempo potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Mah... boh.
[ot]Tra l'altro mi sono beccato all'esame l'altro giorno proprio questa dimostrazione, tra le altre cose, ed evidentemente gli \(O\)...
[/ot]
[ot]Tra l'altro mi sono beccato all'esame l'altro giorno proprio questa dimostrazione, tra le altre cose, ed evidentemente gli \(O\)...
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