Come mai in questo sistema lineare la 2^ riga della wronskiana non è la derivata della prima?
Dato questo sistema lineare differenziale non omogeneo in funzione di $x(t),y(t)$:
$\{(x'=2x+y+e^(-2t)),(y'=4x-y-e^(-2t)):}$
per trovare la soluzione generale omogenea ho trovato gli autovalori $lambda_1=3,lambda_2=-2$, poi gli autovettori $\vec v1=(1,1)$ e $\vec v2=(1,-4)$ e quindi ho:
$((x(t)),(y(t)))=((c_1e^(3t)+c_2e^(-2t)),(c_1e^(3t)-4c_2e^(-2t)))$
La matrice wronskiana dovrebbe essere $((e^(3t),e^(-2t)),(e^(3t),-4e^(2t)))$
Mi pareva di aver capito che ogni riga della wronskiana è la derivata della riga sopra, ma qui non è così;
Vorrei capire se ho sbagliato qualcosa o se ciò accade solo con certe condizioni che non so; ho cercato sul libro ma non riesco a trovare nulla.
$\{(x'=2x+y+e^(-2t)),(y'=4x-y-e^(-2t)):}$
per trovare la soluzione generale omogenea ho trovato gli autovalori $lambda_1=3,lambda_2=-2$, poi gli autovettori $\vec v1=(1,1)$ e $\vec v2=(1,-4)$ e quindi ho:
$((x(t)),(y(t)))=((c_1e^(3t)+c_2e^(-2t)),(c_1e^(3t)-4c_2e^(-2t)))$
La matrice wronskiana dovrebbe essere $((e^(3t),e^(-2t)),(e^(3t),-4e^(2t)))$
Mi pareva di aver capito che ogni riga della wronskiana è la derivata della riga sopra, ma qui non è così;
Vorrei capire se ho sbagliato qualcosa o se ciò accade solo con certe condizioni che non so; ho cercato sul libro ma non riesco a trovare nulla.
Risposte
Fidandomi dei tuoi calcoli, se dici che le funzioni soluzioni sono
Allora la matrice Wronskiana è
$ [ ( x (t ) , y (t) ),( x' (t ) , y' (t) ) ] $
Che non è l'ultima matrice che hai scritto tu
"wattbatt":
$ ((x(t)),(y(t)))=((c_1e^(3t)+c_2e^(-2t)),(c_1e^(3t)-c_24e^(-2t))) $
Allora la matrice Wronskiana è
$ [ ( x (t ) , y (t) ),( x' (t ) , y' (t) ) ] $
Che non è l'ultima matrice che hai scritto tu
okay, bè in verità l'esercizio non l'ho fatto io l'ha fatto la prof ad esercitazione e quella matrice l'ha proprio presentata come la wronskiana quindi boh...
il libro dice che le righe della wronskiana in pratica sono le soluzioni del sistema omogeneo, ossia se ho un sistema:
$\vec y'=A(t)\vec y(t) +\vec b(t)$ ($A$ matrice dei coefficienti)
la soluzione completa è:
$\vec y'=\vec y_p + c_1\vec w_1+c_2\vec w_2+.....c_n\vec w_n$ ($y_p$ soluzione particolare a causa di $b(t)$ )
e la matrice wronskiana sono i vettori in colonna $((\vec w_1,\vec w_2,...,\vec w_n))$
quindi ecco... o è sbagliato il libro, o ha sbagliato la prof, o c'è un tassello mancante che non trovo
il libro dice che le righe della wronskiana in pratica sono le soluzioni del sistema omogeneo, ossia se ho un sistema:
$\vec y'=A(t)\vec y(t) +\vec b(t)$ ($A$ matrice dei coefficienti)
la soluzione completa è:
$\vec y'=\vec y_p + c_1\vec w_1+c_2\vec w_2+.....c_n\vec w_n$ ($y_p$ soluzione particolare a causa di $b(t)$ )
e la matrice wronskiana sono i vettori in colonna $((\vec w_1,\vec w_2,...,\vec w_n))$
quindi ecco... o è sbagliato il libro, o ha sbagliato la prof, o c'è un tassello mancante che non trovo
Se hai due funzioni siffatte:
$x(t)=(c_1e^(3t)+c_2e^(-2t))$
$y(t)=c_3e^(3t)-c_4e^(-2t)$
Allora la matrice Wronskiana è:
$ [ ( (c_1e^(3t)+c_2e^(-2t)) , c_3e^(3t)-c_4e^(-2t) ),( (c_1 3e^(3t)- c_2 2e^(-2t)) , c_3 3e^(3t)+c_4 2e^(-2t) ) ] $
Questo è quello che ricordo io. Per sicurezza ricontrolla tutto fidandoti solamente di un libro universitario serio.
$x(t)=(c_1e^(3t)+c_2e^(-2t))$
$y(t)=c_3e^(3t)-c_4e^(-2t)$
Allora la matrice Wronskiana è:
$ [ ( (c_1e^(3t)+c_2e^(-2t)) , c_3e^(3t)-c_4e^(-2t) ),( (c_1 3e^(3t)- c_2 2e^(-2t)) , c_3 3e^(3t)+c_4 2e^(-2t) ) ] $
Questo è quello che ricordo io. Per sicurezza ricontrolla tutto fidandoti solamente di un libro universitario serio.
No, no, no, è solo una incomprensione. Ci sono due concetti di matrice Wronskiana. Quella con le derivate è la matrice Wronskiana relativa ad una equazione differenziale di secondo ordine (o terzo, o quarto, etc...). Qua invece c'è un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine.
Le due definizioni, in effetti, sono collegate, ma questa è una di quelle cose che bisogna scoprire da soli. Faccio solo un esempio, anzi, l'esempio: l'oscillatore armonico. (Come diceva un professore di fisica che mi ha molto segnato, tutta la fisica, alla fine, è l'oscillatore armonico). Si tratta della equazione di secondo ordine
\[
\ddot{x}(t)+x(t)=0.\]
Date due soluzioni \(x_1, x_2\) di questa equazione, la matrice Wronskiana è, per definizione,
\[
\begin{bmatrix} x_1(t) & x_2(t) \\ \dot{x}_1(t) & \dot{x}_2(t) \end{bmatrix}.\]
Ora, introducendo la variabile velocità \(v(t)=\dot{x}(t)\), l'equazione si può riscrivere come un sistema
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t)=v(t),\\
\dot{v}(t)=-x(t).\end{cases}\]
Date due soluzioni \((x_1, v_1), (x_2, v_2)\) di questo sistema, la matrice Wronskiana è, per definizione,
\[
\begin{bmatrix}
x_1(t) & x_2(t) \\ v_1(t) & v_2(t) \end{bmatrix}.\]
Le due definizioni, in effetti, sono collegate, ma questa è una di quelle cose che bisogna scoprire da soli. Faccio solo un esempio, anzi, l'esempio: l'oscillatore armonico. (Come diceva un professore di fisica che mi ha molto segnato, tutta la fisica, alla fine, è l'oscillatore armonico). Si tratta della equazione di secondo ordine
\[
\ddot{x}(t)+x(t)=0.\]
Date due soluzioni \(x_1, x_2\) di questa equazione, la matrice Wronskiana è, per definizione,
\[
\begin{bmatrix} x_1(t) & x_2(t) \\ \dot{x}_1(t) & \dot{x}_2(t) \end{bmatrix}.\]
Ora, introducendo la variabile velocità \(v(t)=\dot{x}(t)\), l'equazione si può riscrivere come un sistema
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t)=v(t),\\
\dot{v}(t)=-x(t).\end{cases}\]
Date due soluzioni \((x_1, v_1), (x_2, v_2)\) di questo sistema, la matrice Wronskiana è, per definizione,
\[
\begin{bmatrix}
x_1(t) & x_2(t) \\ v_1(t) & v_2(t) \end{bmatrix}.\]
Se consideri $x(t)$ ed $y(t)$ trovate da wattbatt:
$x(t)=(c_1e^(3t)+c_2e^(-2t))$
$y(t)=c_3e^(3t)-c_4e^(-2t)$
Allora la matrice wronskiana scritta da wattbatt è sbagliata.
E' comunque sbagliata, come la metti la metti...
O sbaglio io?
$x(t)=(c_1e^(3t)+c_2e^(-2t))$
$y(t)=c_3e^(3t)-c_4e^(-2t)$
Allora la matrice wronskiana scritta da wattbatt è sbagliata.
"wattbatt":
La matrice wronskiana dovrebbe essere $ ((e^(3t),e^(-2t)),(e^(3t),-4e^(2t))) $
E' comunque sbagliata, come la metti la metti...
O sbaglio io?
Vabbé, è la trasposta di quella del mio post precedente, niente di sostanziale.
Vallo a dire ad un professore universitario durante un esame "niente di sostanziale" 
Quello dipende dal professore, che alla fine ha sempre il coltello dalla parte del manico, quindi meglio non dirlo con tono troppo strafottente!
Però è vero che non è sostanziale. Nel mio post precedente, ho scelto di scrivere le matrici a quel modo, ma avrei potuto pure scegliere di scrivere le trasposte, come la prof di wattbatt. In ultima analisi, è questione di decidere se uno vuole scrivere i vettori in riga o in colonna.
Infatti più che la matrice Wronskiana in sé, ciò che è importante è il determinante della matrice Wronskiana. In genere, se dici solo "wronskiano", uno pensa al determinante, non alla matrice. E il determinante di una matrice e della sua trasposta sono uguali; quindi la convenzione seguita nello scrivere la matrice Wronskiana non è rilevante. In questo senso non è niente di sostanziale. Anche il professore più cocciuto e perverso non può opporsi a questo argomento.
Però è vero che non è sostanziale. Nel mio post precedente, ho scelto di scrivere le matrici a quel modo, ma avrei potuto pure scegliere di scrivere le trasposte, come la prof di wattbatt. In ultima analisi, è questione di decidere se uno vuole scrivere i vettori in riga o in colonna.
Infatti più che la matrice Wronskiana in sé, ciò che è importante è il determinante della matrice Wronskiana. In genere, se dici solo "wronskiano", uno pensa al determinante, non alla matrice. E il determinante di una matrice e della sua trasposta sono uguali; quindi la convenzione seguita nello scrivere la matrice Wronskiana non è rilevante. In questo senso non è niente di sostanziale. Anche il professore più cocciuto e perverso non può opporsi a questo argomento.
"dissonance":
Quello dipende dal professore, che alla fine ha sempre il coltello dalla parte del manico, quindi meglio non dirlo con tono troppo strafottente!
Però è vero che non è sostanziale. Nel mio post precedente, ho scelto di scrivere le matrici a quel modo, ma avrei potuto pure scegliere di scrivere le trasposte, come la prof di wattbatt. In ultima analisi, è questione di decidere se uno vuole scrivere i vettori in riga o in colonna.
Infatti più che la matrice Wronskiana in sé, ciò che è importante è il determinante della matrice Wronskiana. In genere, se dici solo "wronskiano", uno pensa al determinante, non alla matrice. E il determinante di una matrice e della sua trasposta sono uguali; quindi la convenzione seguita nello scrivere la matrice Wronskiana non è rilevante. In questo senso non è niente di sostanziale. Anche il professore più cocciuto e perverso non può opporsi a questo argomento.
Se l'unico uso che si fa della Wronskiana è il suo determinante allora cambia poco.
Io ho sempre usato solo il determinante, non so se ci sono problemi matematici in cui la sola matrice viene usata.
okay quindi la cosa sottilissima che ci sta in mezzo qui è che la proprietà di "ogni riga derivata della riga sopra" riguarda la wronskiana associata ad una singola equazione di ordine n ; poi questa equazione si può trasformare in un sistema di n equazioni del prim'ordine ma per i metodi che ho imparato ricavandola dal sistema questa proprietà si perde anche se la matrice è quella
"wattbatt":
okay quindi la cosa sottilissima che ci sta in mezzo qui è che la proprietà di "ogni riga derivata della riga sopra" riguarda la wronskiana associata ad una singola equazione di ordine n ; poi questa equazione si può trasformare in un sistema di n equazioni del prim'ordine
Esatto.
ma per i metodi che ho imparato ricavandola dal sistema questa proprietà si perde anche se la matrice è quella
Questo non l'ho capito, ma non credo sia importante.
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