Come essere rigorosi al massimo+ esercizio sup e inf
Salve a tutti!
Sapreste dirmi come essere rigorosa al massimo in un esercizio dove devo trovare sup,inf, max e min( se esistono)?
Vi svolgo quest'esercizio (su cui tra l'altro sono anche titubante):
$ {(n-2)/n|n in N} $
Mi aiuto con la sperimentazione numerica e trovo che il numero più piccolo che posso trovare è -1 che però non appartiene ad N pertanto non posso dire che -1 sia l'inf di quest'insieme giusto?
il secondo numero più piccolo è 0. Svolgo le due disequazioni della definizione per dimostrare che inf è 0:
$ (n-2)/n <=0 => n<=2 $
qui penso ci sia qualcosa che non va... il fatto che mi venga questo risultato sta a significare che cosa?
$ (n-2)/n -epsilon>=0 => n>=2/(1-epsilon $
Anche qui, cosa significa il fatto di aver trovato questa n?Poichè esistono n >2 vuol dire che è verificata la condizione?
Sapreste dirmi come essere rigorosa al massimo in un esercizio dove devo trovare sup,inf, max e min( se esistono)?
Vi svolgo quest'esercizio (su cui tra l'altro sono anche titubante):
$ {(n-2)/n|n in N} $
Mi aiuto con la sperimentazione numerica e trovo che il numero più piccolo che posso trovare è -1 che però non appartiene ad N pertanto non posso dire che -1 sia l'inf di quest'insieme giusto?
il secondo numero più piccolo è 0. Svolgo le due disequazioni della definizione per dimostrare che inf è 0:
$ (n-2)/n <=0 => n<=2 $
qui penso ci sia qualcosa che non va... il fatto che mi venga questo risultato sta a significare che cosa?
$ (n-2)/n -epsilon>=0 => n>=2/(1-epsilon $
Anche qui, cosa significa il fatto di aver trovato questa n?Poichè esistono n >2 vuol dire che è verificata la condizione?
Risposte
secondo me hai una gran confusione.
nelle successioni $NN$ è il dominio, un sottoinsieme di $RR$ èil codominio.
$n in NN$, mentre i valori (che comprendono gli eventuali estremi), sono dati in termini di $(n-2)/n$
quindi n=0 sembrerebbe non valido, quindi la successione "forse" parte da $n=1$: si ha $-1$ come valore, che è ammesso, appartiene al codominio e ne è il minimo. i valori successivi sono $0, 1/3, 1/2, 3/5, 2/3, ...$ la successione converge ad $1$, che non appartiene al codominio e che quindi ne è solo il sup, non il max.
il calcolo che stavi facendo con $epsilon$ farebbe pensare ad un limite uguale a $0$, e non viene perché il limite è $1$:
pensa alla definizione di limite $1^-$ per $n->+oo$ ($l-f(x)
nelle successioni $NN$ è il dominio, un sottoinsieme di $RR$ èil codominio.
$n in NN$, mentre i valori (che comprendono gli eventuali estremi), sono dati in termini di $(n-2)/n$
quindi n=0 sembrerebbe non valido, quindi la successione "forse" parte da $n=1$: si ha $-1$ come valore, che è ammesso, appartiene al codominio e ne è il minimo. i valori successivi sono $0, 1/3, 1/2, 3/5, 2/3, ...$ la successione converge ad $1$, che non appartiene al codominio e che quindi ne è solo il sup, non il max.
il calcolo che stavi facendo con $epsilon$ farebbe pensare ad un limite uguale a $0$, e non viene perché il limite è $1$:
pensa alla definizione di limite $1^-$ per $n->+oo$ ($l-f(x)
Mi permetto un paio di precisazioni ...
In teoria non si sta parlando di successioni ma solo della composizione di un insieme che non presuppone la loro conoscenza (e lo stesso dicasi per l'estremo superiore ed il resto ...), mentre per quanto riguarda $NN$ non è univoco il fatto che contenga lo zero, molti non lo considerano (io per esempio ...
)
Cordialmente, Alex
In teoria non si sta parlando di successioni ma solo della composizione di un insieme che non presuppone la loro conoscenza (e lo stesso dicasi per l'estremo superiore ed il resto ...), mentre per quanto riguarda $NN$ non è univoco il fatto che contenga lo zero, molti non lo considerano (io per esempio ...
)Cordialmente, Alex
Stavo svolgendo quel calcolo per cercare di dimostrare chi è l inf "rigorosamente", ammesso che sia la strada giusta. . Volevo dimostrare che se L è l inf allora tutti gli elementi della successione sarannoopiù grandi di L ...
Capisco ma di solito quando viene presentato il concetto di estremo superiore (e compagnia bella ...) ancora non si conoscono successioni e limiti, quindi presumo che debba essere risolto "terra terra" senza per questo non essere rigorosi.
Quando ho un po' di tempo provo a risolverlo ...
Quando ho un po' di tempo provo a risolverlo ...
sì, non è esplicitamente detto che si parla di successione (è solo un insieme numerico per cui non è importante l'ordine degli elementi), però l'utente parla di sup, inf, max e min (se esistono) e lo chiede in maniera rigorosa: per il min non è necessario considerare gli elementi in ordine, ma per il sup?
quanto allo zero, sono d'accordo perfettamente con l'osservazione, anche se io normalmente lo considero.
P.S.: approfitto di questa occasione per ricordare un'altra cosa scritta da Elena96: <> Questa è un'espressione che di solito si usa per dire che l'inf non è min, ma non in questo contesto, cioè se togli 1 poi c'è 0, e in effetti l'utente ne parla, ma non si capisce se lo 0 viene o meno accettato come numero naturale.
quanto allo zero, sono d'accordo perfettamente con l'osservazione, anche se io normalmente lo considero.
P.S.: approfitto di questa occasione per ricordare un'altra cosa scritta da Elena96: <
provo a dire la mia
innanzitutto è chiaro che in questo caso si deve escludere $n=0$ altrimenti $(n-2)/n$ non ha senso
quindi partiamo da $n=1$ e vediamolo come una successione
il temine generale si può scrivere come $1-2/n$
quindi abbiamo a che fare con una successione crescente che ha $-1$ come minimo(per $n=1$) e $1$ come estremo superiore
innanzitutto è chiaro che in questo caso si deve escludere $n=0$ altrimenti $(n-2)/n$ non ha senso
quindi partiamo da $n=1$ e vediamolo come una successione
il temine generale si può scrivere come $1-2/n$
quindi abbiamo a che fare con una successione crescente che ha $-1$ come minimo(per $n=1$) e $1$ come estremo superiore
È sottinteso che gli elementi dell'insieme siano razionali e non naturali, di solito però questi esercizi sul sup, inf, max, min vengono fatti all'inizio quando ancora i limiti (e le successioni) non sono stati trattati; i naturali peraltro servono "solo" per la definizione degli elementi dell'insieme.
Ho in mente una soluzione che non usa successioni ma non ho il tempo di stenderla almeno "decentemente" ...
Cordialmente, Alex
Ho in mente una soluzione che non usa successioni ma non ho il tempo di stenderla almeno "decentemente" ...
Cordialmente, Alex
Sia $(an)=(n-2)/n$ $AA n in NN$.
Si osserva che $(a_n)$ è una successione monotona crescente, per cui avremo che:
1. Il primo elemento della successione sarà il minimo/estremo inferiore della successione;
$a_1=InfA=-1$
2. Per il teorema sui limiti delle funzioni monotone crescenti, il limite della successione converge all'estremo superiore (o diverge a $+infty$ se il codominio non è limitato superiormente).
$SupA=\lim_{n\to\+infty}a_n=lim_{n\to\+infty}(n-2)/n=1$ (Per il teorema sui limite del rapporto di polinomi).
Non è dotata di massimo.
Si osserva che $(a_n)$ è una successione monotona crescente, per cui avremo che:
1. Il primo elemento della successione sarà il minimo/estremo inferiore della successione;
$a_1=InfA=-1$
2. Per il teorema sui limiti delle funzioni monotone crescenti, il limite della successione converge all'estremo superiore (o diverge a $+infty$ se il codominio non è limitato superiormente).
$SupA=\lim_{n\to\+infty}a_n=lim_{n\to\+infty}(n-2)/n=1$ (Per il teorema sui limite del rapporto di polinomi).
Non è dotata di massimo.
@alexdr
Senza successioni ...
Comunque quantunquemente ha già anticipato quello che volevo scrivere ...
Come detto lo zero è escluso quindi partiamo da $n=1$ da cui otteniamo $x=-1$ (uso la $x$ per gli elementi dell'insieme).
Poi si può dimostrare che per ogni $m>n$ abbiamo $(m-2)/m>(n-2)/n$ e cioè
$(m-2)/m-(n-2)/n>0\ =>\ (n(m-2)-m(n-2))/(mn)>0\ =>\ (2(m-n))/(mn)>0$ che è sempre verificata dato che $m>n$.
Di conseguenza $-1$ è il minimo (e quindi anche estremo inferiore) dell'insieme considerato.
È pure evidente che per ogni elemento dell'insieme sarà $x=(n-2)/n<1$ perché è ovvio che è sempre $n-2
Cordialmente, Alex
Senza successioni ...
Comunque quantunquemente ha già anticipato quello che volevo scrivere ...
Come detto lo zero è escluso quindi partiamo da $n=1$ da cui otteniamo $x=-1$ (uso la $x$ per gli elementi dell'insieme).
Poi si può dimostrare che per ogni $m>n$ abbiamo $(m-2)/m>(n-2)/n$ e cioè
$(m-2)/m-(n-2)/n>0\ =>\ (n(m-2)-m(n-2))/(mn)>0\ =>\ (2(m-n))/(mn)>0$ che è sempre verificata dato che $m>n$.
Di conseguenza $-1$ è il minimo (e quindi anche estremo inferiore) dell'insieme considerato.
È pure evidente che per ogni elemento dell'insieme sarà $x=(n-2)/n<1$ perché è ovvio che è sempre $n-2
Cordialmente, Alex
Credo di aver capito! un'ultima domanda. Se io ho una successione dove n appartiene a Z, volendo applicare il teorema sulle funzioni crescenti\decrescenti qual è il primo numero che devo considerare? Esempio: $ {(2n)/(n^2+1)| n in Z} $
Faccio il limite e trovo che il sup è 0 .Grazie alla sperimentazione numerica trovo che -1 è il minimo, come lo giustifico?
Non posso usare derivate o cose strane.Una dimostrazione terra terra sarebbe quella che ha scritto axpgn ?
Faccio il limite e trovo che il sup è 0 .Grazie alla sperimentazione numerica trovo che -1 è il minimo, come lo giustifico?
Non posso usare derivate o cose strane.Una dimostrazione terra terra sarebbe quella che ha scritto axpgn ?
se dici che il sup è 0, affermi anche che i termini sono tutti negativi. quanto ottieni per $n=1$?
1... allora quando si può applicare questo teorema?
QUALE teorema?
il teorema sui limiti delle funzioni monotone crescenti
"Elena96":
il teorema sui limiti delle funzioni monotone crescenti
come da titolo: quandole funzioni sono monotòne crescenti:
qui, non serve nemmeno scomodare tanti numeri per vedere che $0->0; 1->1; 2->4/5$: ti sembra monotòna crescente?
scusatemi sono stata imprecisa nel porre la domanda. Il teorema sulle funzioni crescenti può valere anche al "contrario" per le funzioni decrescenti giusto? ma in quali casi? In questo esempio se n appartiene ai naturali posso calcolarmi il limite della successione e trovare l'inf, poi sostituendo ad n il primo numero (n=1) trovo che il max è 1. Ma se n appartiene a Z questo teorema non vale più? Anche perché calcolando il limite l'inf rimane lo stesso...
allora, questa successione è monotòna a tratti (non so se sei abituata a chiamarle così, ma ho usato la terminologia delle funzioni): è decrescente per n che va da $-oo$ a $-1$, crescente tra $-1$ e $1$, e poi di nuovo decrescente per n che va da $1$ a $+oo$
quindi ha massimo $1$ (valore che hai trovato ponendo n=1), ha minimo $-1$ (valore che trovi ponendo n=-1), mentre ha limite $0$ sia per $n-> -oo$ sia per $n->+oo$, assume sì il valore zero, ma solo per $n=0$, non per valori "grandi" di n.
inf è quindi anche min (-1), perché appartiene all'insieme, così come sup è anche max (1) perché appartiene all'insieme, non si può quindi parlare, se consideri tutto $ZZ$ come insieme di variabilità di $n$, di inf o sup $0$, che però rimane valore del limite...
se ti limiti a $NN$ (senza lo $0$), allora il max è 1 e l'inf è 0 perché il limite è $0^+$;
analogamente se prendi solo i valori negativi di $ZZ$, il min è $-1$ e il sup è $0$.
ci siamo?
EDIT: ho corretto un errore di "stampa", però si capiva ... (avevo scritto $NN$ al posto dell'ultimo $ZZ$).
quindi ha massimo $1$ (valore che hai trovato ponendo n=1), ha minimo $-1$ (valore che trovi ponendo n=-1), mentre ha limite $0$ sia per $n-> -oo$ sia per $n->+oo$, assume sì il valore zero, ma solo per $n=0$, non per valori "grandi" di n.
inf è quindi anche min (-1), perché appartiene all'insieme, così come sup è anche max (1) perché appartiene all'insieme, non si può quindi parlare, se consideri tutto $ZZ$ come insieme di variabilità di $n$, di inf o sup $0$, che però rimane valore del limite...
se ti limiti a $NN$ (senza lo $0$), allora il max è 1 e l'inf è 0 perché il limite è $0^+$;
analogamente se prendi solo i valori negativi di $ZZ$, il min è $-1$ e il sup è $0$.
ci siamo?
EDIT: ho corretto un errore di "stampa", però si capiva ... (avevo scritto $NN$ al posto dell'ultimo $ZZ$).
chiarissimo 
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