Come esporre ad un orale le radici complesse?
Salve a breve mi troverò a dover sostenere l'ora di analisi e mi ritrovo privo di idee su come esporre l'argomento delle radici dei numeri complessi!
Io ci piazzerei li formula di de moivre senza capo ne coda e sapendola giustificare ben poco. per gli esercizi questo mi è sempre stato più che sufficiente ma per l'orale penso che il discorso debba avere una introduzione e maggiori giustificazioni. potete aiutarmi a formulare una breve, semplice e completa esposizione dell'argomento?
Io ci piazzerei li formula di de moivre senza capo ne coda e sapendola giustificare ben poco. per gli esercizi questo mi è sempre stato più che sufficiente ma per l'orale penso che il discorso debba avere una introduzione e maggiori giustificazioni. potete aiutarmi a formulare una breve, semplice e completa esposizione dell'argomento?
Risposte
"blulaserstar":
Salve a breve mi troverò a dover sostenere l'ora di analisi e mi ritrovo privo di idee su come esporre l'argomento delle radici dei numeri complessi!
Io ci piazzerei li formula di de moivre senza capo ne coda e sapendola giustificare ben poco. per gli esercizi questo mi è sempre stato più che sufficiente ma per l'orale penso che il discorso debba avere una introduzione e maggiori giustificazioni. potete aiutarmi a formulare una breve, semplice e completa esposizione dell'argomento?
Alcune linee guida.
Innanzi tutto sai dimostrare la formula? Se non passo passo almeno in linea di massima.
Poi una volta trovate le radici, da un punto di vista geometrico c'è da osservare che i valori della radice trovata si dispongono su una circonferenza in modo da dividerla in archi di uguale lunghezza e se li unisci ottieni un poligono regolare ecc ecc
qui c'è qualcosa in + http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_De_Moivre
non la so dimostrare la so solo iterare per il calcolo in se per se!
ps
i miei amici sostengono che questa sia una esposizione dell'argomento corretta:
ma a me non lascia molto convinto
ps
i miei amici sostengono che questa sia una esposizione dell'argomento corretta:
ma a me non lascia molto convinto
di solito è una trattazione che discende da quella dell'elevazione a potenza pertanto quella che ti suggeriscono i tuoi amici è corretta ed è quella che usai anche io a mio tempo. se non ti convince forse perchè non ti è completamente chiara la trattazione dell'elevazione a potenza.
nulla toglie che possano esistere altri modi di trattare la radice complessa.
nulla toglie che possano esistere altri modi di trattare la radice complessa.
Io direi così:
un numero complesso z è determinato dal suo modulo (i.e. "distanza dall'origine") e dal suo argomento (i.e. "angolo formato con la semiretta dei reali positivi"). Se il numero complesso z ha argomento a e modulo m, allora le sue radici n-esime sono i numeri complessi che hanno come modulo la radice n-esima di m, e come argomento $a/n+2\pi l/n$ per l=0,...,n-1 (ovvero tutti i reali compresi tra $a/n$ e $a/n+2 \pi$ che moltiplicati per $n$ danno $a$ a meno di multipli interi di $2\pi$).
Infatti elevare z alla n equivale ad elevare il suo modulo alla n e a moltiplicare per n il suo argomento.
Ovvero: se z ha argomento a e modulo m, $z^n$ ha argomento $na$ e modulo $m^n$.
-----------
La dimostrazione di questo fatto non è difficile: basta mostrare che se z ha modulo k e argomento a, w ha modulo h e argomento b, allora zw ha modulo kh e argomento a+b. E per fare questo basta scrivere:
$z=k (\cos a+i \sin a)$
$w=h (\cos b+i \sin b)$
Poi moltiplicare ottenendo
$zw = (k \cos a+ki \sin a)(h \cos b+hi \sin b) = kh \cos a \cos b+ikh \cos a \sin b+ikh \sin a \cos b-kh \sin a \sin b$
Raccogliendo kh otteniamo quindi
$zw=kh((\cos a \cos b-\sin a \sin b)+i(\cos a \sin b+\sin a \cos b)) = kh(\cos(a+b)+i\sin(a+b))$
-------------------
Ora è evidente che se $k \ge 0$, $(k \cos a+ik \sin a)^n = k^n \cos (na)+ik^n \sin (na)$.
un numero complesso z è determinato dal suo modulo (i.e. "distanza dall'origine") e dal suo argomento (i.e. "angolo formato con la semiretta dei reali positivi"). Se il numero complesso z ha argomento a e modulo m, allora le sue radici n-esime sono i numeri complessi che hanno come modulo la radice n-esima di m, e come argomento $a/n+2\pi l/n$ per l=0,...,n-1 (ovvero tutti i reali compresi tra $a/n$ e $a/n+2 \pi$ che moltiplicati per $n$ danno $a$ a meno di multipli interi di $2\pi$).
Infatti elevare z alla n equivale ad elevare il suo modulo alla n e a moltiplicare per n il suo argomento.
Ovvero: se z ha argomento a e modulo m, $z^n$ ha argomento $na$ e modulo $m^n$.
-----------
La dimostrazione di questo fatto non è difficile: basta mostrare che se z ha modulo k e argomento a, w ha modulo h e argomento b, allora zw ha modulo kh e argomento a+b. E per fare questo basta scrivere:
$z=k (\cos a+i \sin a)$
$w=h (\cos b+i \sin b)$
Poi moltiplicare ottenendo
$zw = (k \cos a+ki \sin a)(h \cos b+hi \sin b) = kh \cos a \cos b+ikh \cos a \sin b+ikh \sin a \cos b-kh \sin a \sin b$
Raccogliendo kh otteniamo quindi
$zw=kh((\cos a \cos b-\sin a \sin b)+i(\cos a \sin b+\sin a \cos b)) = kh(\cos(a+b)+i\sin(a+b))$
-------------------
Ora è evidente che se $k \ge 0$, $(k \cos a+ik \sin a)^n = k^n \cos (na)+ik^n \sin (na)$.
"Martino":
... allora le sue radici n-esime sono i numeri complessi che hanno come modulo la radice n-esima di m, e come argomento $a/n+2\pi i/n$ per i=0,...,n-1 ...
Forse è meglio usare una lettera diversa da $i$...
Hai ragione, ho editato 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo