Come disegnare una curva
Ho problemi a disegnare qualitativamente la seguente curva
\[
\gamma(t)=(t(25t^{2}-16),9-18t^{2}) \qquad t\in[-1,1]
\]
Partiamo dal fatto che i punti di partenza e arrivo sono $(-9,-9)$ e $(9,-9)$. Procedo poi così: ricavo
\[
\gamma'(t)=(75t^{2}-16,-36t)
\]
Ora la prima componente della curva cresce da $t=-1$ fino a $t=-\frac{4}{5\sqrt{3}}$ poi decresce fino a $t=\frac{4}{5\sqrt{3}}$ e torna a ricrescere se $t=1$.
La seconda componente, invece, cresce da $t=-1$ a $t=0$ e decresce fino a $t=1$.
Da queste informazioni posso trovare i punti in cui la curva ha tangente parallela agli assi e cerco di collegarli ricreando il sostegno di $\gamma$. Questo procedimento è corretto? Come procedereste?
Inoltre, non mi sono accorto che $\gamma$ è simmetrica rispetto l'asse $y$. Come posso dedurlo dalla mia parametrizzazione?
Grazie in anticipo
\[
\gamma(t)=(t(25t^{2}-16),9-18t^{2}) \qquad t\in[-1,1]
\]
Partiamo dal fatto che i punti di partenza e arrivo sono $(-9,-9)$ e $(9,-9)$. Procedo poi così: ricavo
\[
\gamma'(t)=(75t^{2}-16,-36t)
\]
Ora la prima componente della curva cresce da $t=-1$ fino a $t=-\frac{4}{5\sqrt{3}}$ poi decresce fino a $t=\frac{4}{5\sqrt{3}}$ e torna a ricrescere se $t=1$.
La seconda componente, invece, cresce da $t=-1$ a $t=0$ e decresce fino a $t=1$.
Da queste informazioni posso trovare i punti in cui la curva ha tangente parallela agli assi e cerco di collegarli ricreando il sostegno di $\gamma$. Questo procedimento è corretto? Come procedereste?
Inoltre, non mi sono accorto che $\gamma$ è simmetrica rispetto l'asse $y$. Come posso dedurlo dalla mia parametrizzazione?
Grazie in anticipo
Risposte
Io farei come hai fatto tu ma in modo "ordinato".
Troverei punti di partenza e arrivo.
Troverei i punti in la componente x=0 $t(25t^2-16)=0$ ovvero quando attraversa l'asse delle Y
Troverei i punti in la componente y=0 $9-18t^2=0$ ovvero quando attraversa l'asse delle X
Troverei i punti in cui la retta tangente è del tipo $x=a$ ovvero quando $75t^2-16=0$
Troverei i punti in cui la retta tangente è del tipo $y=a$ ovvero quando $-36t=0$
E alla fine disegnerei il grafico.
P.S. Per quanto riguarda la simmetria si nota che sostituendo t=x e t=-x si ottengono lo stesso punto ma con l'ascissa di segno contrario.
Troverei punti di partenza e arrivo.
Troverei i punti in la componente x=0 $t(25t^2-16)=0$ ovvero quando attraversa l'asse delle Y
Troverei i punti in la componente y=0 $9-18t^2=0$ ovvero quando attraversa l'asse delle X
Troverei i punti in cui la retta tangente è del tipo $x=a$ ovvero quando $75t^2-16=0$
Troverei i punti in cui la retta tangente è del tipo $y=a$ ovvero quando $-36t=0$
E alla fine disegnerei il grafico.
P.S. Per quanto riguarda la simmetria si nota che sostituendo t=x e t=-x si ottengono lo stesso punto ma con l'ascissa di segno contrario.
perfetto, grazie mille @Bokonon
Per quanto riguarda le simmetrie, in generale, c'è qualche relazione con le simmetrie delle componenti? Non so perché ma ho difficoltà a vederlo ...
Edit: ad esempio, se considero la cicloide
\[
\begin{cases} x=t-\sin(t) \\ y=1-\cos(t) \end{cases} t\in[0,2\pi]
\]
Come posso dedurre la simmetria rispetto la retta $x=\pi$?
Per quanto riguarda le simmetrie, in generale, c'è qualche relazione con le simmetrie delle componenti? Non so perché ma ho difficoltà a vederlo ...
Edit: ad esempio, se considero la cicloide
\[
\begin{cases} x=t-\sin(t) \\ y=1-\cos(t) \end{cases} t\in[0,2\pi]
\]
Come posso dedurre la simmetria rispetto la retta $x=\pi$?
puoi anche porre ${(25t^3-16t=x),(9-18t^2=y):}$
dalla seconda ti ricavi che $t^2=(9-y)/18$ ossia i due rami $t=pmsqrt((9-y)/18)$
sostituendo nella seconda trovi 'i due pezzi'
chiaramente qui hai due funzioni del tipo $x=f(y)$ ma puoi tranquillamente studiarla come una funzione qualsiasi, solo che quando andrai a disegnarle, dovrei considerare come 'ascissa' l'asse delle $y$ e viceversa.
tipo la curva $(e^t,t^2-t)$ poni $y=t^2-t$ e $x=e^t$ e trovi $t=log(x)$ e $y=log^2(x)-log(x)$
dalla seconda ti ricavi che $t^2=(9-y)/18$ ossia i due rami $t=pmsqrt((9-y)/18)$
sostituendo nella seconda trovi 'i due pezzi'
$x=25((9-y)/18)^(3/2)-16((9-y)/18)^(1/2)$
$x=-25((9-y)/18)^(3/2)+16((9-y)/18)^(1/2)$
$x=-25((9-y)/18)^(3/2)+16((9-y)/18)^(1/2)$
chiaramente qui hai due funzioni del tipo $x=f(y)$ ma puoi tranquillamente studiarla come una funzione qualsiasi, solo che quando andrai a disegnarle, dovrei considerare come 'ascissa' l'asse delle $y$ e viceversa.
tipo la curva $(e^t,t^2-t)$ poni $y=t^2-t$ e $x=e^t$ e trovi $t=log(x)$ e $y=log^2(x)-log(x)$
Grazie @anto, non ci avevo pensato. La strada di Bokonon è più veloce ma dalla tua idea si vedono bene le simmetrie della curva. Avevo aggiunto questo edit
Come lo faresti?
"Cantor99":
Edit: ad esempio, se considero la cicloide
\[ \begin{cases} x=t-\sin(t) \\ y=1-\cos(t) \end{cases} t\in[0,2\pi] \]
Come posso dedurre la simmetria rispetto la retta $ x=\pi $?
Come lo faresti?
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