Come dimostrare che una funzione è analitica

[.: Fix You :.1]

Ciao a tutti.

Mi trovo di fronte al seguente quesito: dimostrare che $f(x)=\frac{1}{1-x}$ è analitica in $x_0=2$ e $x_0=\frac{1}{2}$

vorrei sapere se il ragionamento potrebbe funzionare:

ricordando che lo sviluppo in serie di taylor in $x_0=0$ è $sum_(n=0)^oox^n$ e ricordando che per le funzioni analitiche vale la formula di taylor e quindi devo valutare $c_n=\frac{f^(n)(x)}{n!}=\frac{1}{(1-x)^n(n-1)!}$ (se ho fatto i conti giusti) e la serie diventa $sum_(n=0)^oo\frac{f^(n)(2)}{n!}(x-2)^n$ ovvero $sum_(n=0)^oo\frac{1}{(1-x)^n(n-1)!}(x-2)^n$

sapendo tutto ciò io pensavo di valutare il raggio di convergenza $R=\frac{1}{lim_{n->oo}|\frac{c_{n+1}}{c_n}|}=n$.

Poichè il raggio di convergenza è $R=oo$ la serie $R=\frac{1}{lim_{n->oo}|\frac{c_{n+1}}{c_n}|}=n$ converge su tutto $RR$ (sempre se i conti sono giusti).

Per cui posso affermare che $AA x in RR$ succede che $\frac{1}{1-x}=sum_(n=0)^oo\frac{1}{(1-x)^n(n-1)!}(x-2)^n$ e quindi la relazione vale anche per $x_0=2$ e $x_0=\frac{1}{2}$??

Grazie mille.

[Camillo]

Lascio ad altri la risposta alla tua domanda.
Io la vedo così :
Una funzione $f(x)$ è analitica in un intorno $I$ di $x_0$ se è ivi sviluppabile in serie di Taylor .
Una funzione è sviluppabile in serie di Taylor se :
* è dotata di derivate di qualsivoglia ordine in $ x_0$
*le derivate sono equilimitate, esiste cioè una costante $M > 0 $ tale che $|f(x)^(n)| <=M $ , $AA n in NN $ .

[Cantaro86]

la vedo un po' difficile che sia analitica su tutto $RR$... è discontinua in 1

[.: Fix You :.1]

@cantaro86 è vero hai ragione... preso dalla foga di derivare e vedere il raggio di convergenza non ho controllato se il mio risultato era coerente

@Camillo grazie mille mi mancava proprio una puntualizzazione su quello che bisogna fare...
quindi quello che hai proposto è il metodo generale per vedere se una funzione è analitica in un punto. giusto?

[gugo82]

Certo che la funzione $f(x)=1/(1-x)$ è analitica in $x_0=2,1/2$.

Sussiste il seguente teorema:

Siano $x_0 in RR$ ed $(a_n) subset RR$.
Se la serie di potenze $sum a_n(x-x_0)^n$ ha raggio di convergenza $rho>0$ e se $a_0!=0$ allora esiste una successione $(b_n) subset RR$ tale che:

i) la serie di potenze $\sum b_n(x-x_0)^n$ ha raggio di convergenza $r>0$;

ii) $(\sum a_n(x-x_0)^n)\times(\sum b_n(x-x_0)^n)=1$ (ciò si esprime dicendo che $\sum b_n(x-x_0)^n$ è l'invesa algebrica o la serie reciproca di $\sum a_n(x-x_0)^n$).


[N.B.: il prodotto $\times$ che figura nella ii) è il prodotto secondo Cauchy delle due serie di potenze.]

Se si riferisce quanto asserito dal teorma precedente alla somma delle serie di potenze che vi figurano otteniamo un criterio per l'analiticità della funzione reciproca:

Siano $I subseteq RR$, $x_0 in I$, $g:ItoRR$.
Se $g$ è analitica in $x_0$ e se $g(x_0)!=0$, allora la funzione reciproca $1/g$ è anch'essa analitica in $x_0$.

Questo risultato è facilmente applicabile al tuo caso: infatti la $f(x)=1/(1-x)$ è la funzione reciproca di $g(x)=1-x$; quest'ultima è analitica ovunque in $RR$ ed ha $g(2),g(1/2)!=0$.

[Camillo]

"Camillo":Lascio ad altri la risposta alla tua domanda.
Io la vedo così :
Una funzione $f(x)$ è analitica in un intorno $I$ di $x_0$ se è ivi sviluppabile in serie di Taylor .
Una funzione è sviluppabile in serie di Taylor se :
* è dotata di derivate di qualsivoglia ordine in $ x_0$
*le derivate sono equilimitate, esiste cioè una costante $M > 0 $ tale che $|f(x)^(n)| <=M $ , $AA n in NN $ .

Commenti ?

[gugo82]

"Camillo":[quote="Camillo"]Lascio ad altri la risposta alla tua domanda.
Io la vedo così :
Una funzione $f(x)$ è analitica in un intorno $I$ di $x_0$ se è ivi sviluppabile in serie di Taylor .
Una funzione è sviluppabile in serie di Taylor se :
* è dotata di derivate di qualsivoglia ordine in $ x_0$
*le derivate sono equilimitate, esiste cioè una costante $M > 0 $ tale che $|f(x)^(n)| <=M $ , $AA n in NN $ .

Commenti ?[/quote]
Sicuramente giusto: quella che riporti è la più famosa delle condizioni sufficienti per l'analiticità.

Però, visto che:

(*) $quad f^((n))(x)=(n!)/(1-x)^(n+1)$,

è difficile provare l'equilimitatezza delle derivate di qualunque ordine intorno a qualche punto del dominio di $f$ (difatti, comunque si fissi $x!=1$, risulta $lim_n |f^((n))(x)|=+oo$).

In questo caso due sono le strade possibili: o si applica un teorema sulle serie di potenze (come ho fatto nel post precedente) oppure si va ad analizzare esplicitamente le serie di Taylor relativi ad $f$ con centro $2$ ed $1/2$. Illustrerò quest'ultimo metodo.

Data l'espressione (*) delle derivate, i coefficienti delle serie di Taylor relative ad $f$ in $2$ ed $1/2$ sono rispettivamente:

$b_n=(f^((n))(2))/(n!)=1/(-1)^(n+1)=(-1)^(n+1)=-(-1)^nquad $ e $quad c_n=(f^((n))(1/2))/(n!)=1/(1/2)^(n+1)=2^(n+1)$

cosicché le serie di Taylor relative ad $f$ con centro in $2$ ed $1/2$ sono rispettivamente:

$-\sum (-1)^n(x-2)^n=-\sum (2-x)^n quad$ e $quad 2*\sum 2^n(x-1/2)^n=2*\sum (2x-1)^n$;

sia la prima che la seconda sono multiple di serie geometriche, le quali convergono a condizione che le ragioni siano in valore assoluto minori di uno: pertanto gli insiemi di convergenza delle due serie sono costituiti da tutti e soli i valori di $x$ per cui sono verificate, rispettivamente, le seguenti relazioni:

$|2-x|<1 quad$ e $quad |2x-1|<1$

onde la prima serie converge in $]1,3[$ e la seconda converge in $]0,1[$.

Ovviamente avrei potuto applicare anche il Teorema di Cauchy-Hadamard per la determinazione del raggio di convergenza delle due serie di Taylor*, ma era carino il fatto che si potesse ricondurre tutto allo studio della serie geometrica.


__________________
* A norma del suddetto teorema, i raggi di convergenza delle due serie di Taylor sono dati da:

$r(2)=1/(maxlim_(nto +oo) |b_n|^(1/n))=1 quad$ e $quad r(1/2)=1/(maxlim_(nto +oo) |c_n|^(1/n))=1/2$.

[.: Fix You :.1]

Grazie mille a tutti...il teorema citato da gugo82 non lo conoscevo...ora ho capito quello che devo fare... grazie

[gugo82]

".: Fix You :.":Grazie mille a tutti...il teorema citato da gugo82 non lo conoscevo.

Non lo conoscevo nemmeno io finché non ho letto i primi due paragrafi del cap. I di H. Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Publications.

Buono studio.

[.: Fix You :.1]

ti ringrazio veramente per la completezza della risposta, della pazienza e della gentilezza

buona giornata
Simone

[Camillo]

Ottima trattazione ed esaustiva, gugo

[gugo82]

Muchas gracias.

[david_e1]

"Camillo":Lascio ad altri la risposta alla tua domanda.
Io la vedo così :
Una funzione $f(x)$ è analitica in un intorno $I$ di $x_0$ se è ivi sviluppabile in serie di Taylor .
Una funzione è sviluppabile in serie di Taylor se :
* è dotata di derivate di qualsivoglia ordine in $ x_0$
*le derivate sono equilimitate, esiste cioè una costante $M > 0 $ tale che $|f(x)^(n)| <=M $ , $AA n in NN $ .

Ma ci sono funzioni infinitamente derivabili, che però non sono analitiche... ad esempio con tutte le derivate nulle in un punto, ma non identicamente nulle in ogni intorno di tale punto....

[Camillo]

Penso che ti riferisci a questa funzione :

$f(x) = e^(-1/(x^2)) $ per $x ne 0 $

$ =0 $ altrove

Le derivate non sono però equilimitate.

[gugo82]

"Camillo":Penso che ti riferisci a questa funzione :

$f(x) = e^(-1/(x^2)) $ per $x ne 0 $

$ =0 $ altrove

Le derivate non sono però equilimitate.

Il che non è così sorprendente: infatti dall'implicazione:

(*) $quad f " ha le derivate equilimitate intorno ad " x_0 quad=>quad f " è analitica in "x_0$

valida per ogni $f$ di classe $C^oo$ intorno ad $x_0$, si trae per contrapposizione:

$f " non è analitica in "x_0 quad =>quad f " non ha le derivate equilimitate intorno ad "x_0$.


L'esercizio risolto in questo thread fornisce anche un bell'esempio del fatto che la condizione di equilimitatezza di tutte le derivate si guarda bene dall'essere necessaria all'analiticità, nel senso che non sussiste l'implicazione inversa della (*) $f " è analitica in "x_0 quad => quad f " ha le derivate equilimitate intorno ad "x_0$.

[david_e1]

"Camillo":Penso che ti riferisci a questa funzione :

$f(x) = e^(-1/(x^2)) $ per $x ne 0 $

$ =0 $ altrove

Le derivate non sono però equilimitate.

Si si hai ragione. Bisogna chiedere l'equilimitatezza in un intorno, mentre io avevo letto la seconda condizione come $|f^{(k)}(x_0)|

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