Come dimostrare che questa funzione è lipschitziana?
Ciao a tutti! mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio su un problema di Cauchy (non è difficile!! Però non so come andare avanti!)
Allora il problema di cauchy è:
$x'(t)+x(t)[t^3x(t)+f(t)]=0$
$x(0)=1$
dove $f$ è un'assegnata funzione continua su $R$ (numeri reali). Sia $x$ definita su $(\alpha, \beta)$ la soluzione massimale del problema di cauchy devo giustificare il fatto che $x(t)>0$ per ogni $t$ nel dominio di definizione.
Una volta dimostrato che la funzione $F(t,x(t))=-x(t)[t^3x(t)+f(t)]$ è lipschitziana il gioco è fatto, però non so proprio come dimostrare che è lipschitziana (la funzione f è continua ma non sappiamo se è derivabile)
Infatti una volta che ho dimostrato che c'è unicità locale è facile vedere che la soluzione non può annullarsi, altrimenti nel punto in cui si annulla avremmo due soluzioni (una è quella costantemente uguale a 0)
Mi potete aiutare a dimostrare la lipschitzianità??
Grazie!!
Allora il problema di cauchy è:
$x'(t)+x(t)[t^3x(t)+f(t)]=0$
$x(0)=1$
dove $f$ è un'assegnata funzione continua su $R$ (numeri reali). Sia $x$ definita su $(\alpha, \beta)$ la soluzione massimale del problema di cauchy devo giustificare il fatto che $x(t)>0$ per ogni $t$ nel dominio di definizione.
Una volta dimostrato che la funzione $F(t,x(t))=-x(t)[t^3x(t)+f(t)]$ è lipschitziana il gioco è fatto, però non so proprio come dimostrare che è lipschitziana (la funzione f è continua ma non sappiamo se è derivabile)
Infatti una volta che ho dimostrato che c'è unicità locale è facile vedere che la soluzione non può annullarsi, altrimenti nel punto in cui si annulla avremmo due soluzioni (una è quella costantemente uguale a 0)
Mi potete aiutare a dimostrare la lipschitzianità??
Grazie!!
Risposte
Devi considerare la funzione [tex]$F(t,x):=-x\ [t^3x+f(t)]$[/tex] (in cui [tex]$x$[/tex] è una variabile indipendente, cioè non dipende da [tex]$t$[/tex]) e dimostrare che [tex]$F(t,x)$[/tex] è localmente lipschitziana, ossia che se [tex]$(t,x)$[/tex] varia in un limitato [tex]$E\subseteq \mathbb{R}^2$[/tex], allora [tex]$F(t,x)$[/tex] è lipschitziana in [tex]$E$[/tex].
La funzione [tex]$F(t,x)$[/tex] rispetto ad [tex]$x$[/tex] è un polinomio con coefficienti che dipendono da [tex]$t$[/tex], quindi essa è lipschitziana in [tex]$E$[/tex] se i coefficienti sono limitati nella proiezione di [tex]$E$[/tex] sull'asse [tex]$t$[/tex]; questo è il caso, perchè [tex]$t^3$[/tex] ed [tex]$f(t)$[/tex] sono funzioni continue.
La funzione [tex]$F(t,x)$[/tex] rispetto ad [tex]$x$[/tex] è un polinomio con coefficienti che dipendono da [tex]$t$[/tex], quindi essa è lipschitziana in [tex]$E$[/tex] se i coefficienti sono limitati nella proiezione di [tex]$E$[/tex] sull'asse [tex]$t$[/tex]; questo è il caso, perchè [tex]$t^3$[/tex] ed [tex]$f(t)$[/tex] sono funzioni continue.
Intanto la funzione che devi considerare è $F(t, x)=-x(t^3x+f(t)]$, a questo stadio $x$ non dipende da $t$. (Chiaro questo punto?)
Poi, prova ad applicare la definizione. Prendi una differenza $|F(t, x_1)-F(t, x_2)|$, fai qualche calcolo, vedi se riesci a isolare il termine $|x_1-x_2|$. Ricordati che:
Poi, prova ad applicare la definizione. Prendi una differenza $|F(t, x_1)-F(t, x_2)|$, fai qualche calcolo, vedi se riesci a isolare il termine $|x_1-x_2|$. Ricordati che:
- [*:35qy6ilw]per intervalli temporali limitati, $f$ è una funzione limitata e quindi puoi stimare $|f(t)|$ con una costante;[/*:m:35qy6ilw]
[*:35qy6ilw]per intervalli spaziali limitati, $x \mapsto x^2$ è una funzione Lipschitziana e quindi puoi stimare $|x_1^2-x_2^2|$ con $"una costante"*|x_1-x_2|$.[/*:m:35qy6ilw][/list:u:35qy6ilw]
grazie mille!! siete stati davvero gentili! Grazie ancora!
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