Come concludere questo integrale?

[smaug1]

\(\displaystyle \lmoustache \frac{3x + 2}{x^2 + x + 1} = \frac{3}{2} \lmoustache \frac{2x + \frac{4}{3}}{x^2 + x +1} = \lmoustache \frac{2x + \frac{1}{3} + 1}{x^2 + x +1} \)

Si vede che c'entra un logaritmo ma come faccio concretamente a concludere? Mi aiutate cercando di spiegarmi? Grazie

[kate-sweet]

scusa ma secondo me questi passaggi che hai fatto sono inutili..questo è un integrale al cui denominatore c'è un polinomio con discriminante minore di zero...

[smaug1]

ergo? scusami @kate ma all'università gli integrali il prof li ha spiegati ieri ed oggi quindi non è che sono un mostro ad afferrare queste dritte...

[Ziben]

Ciao,
mi sembra che tu stia cercando di far apparire al numeratore la derivata del denominatore. Ci sei ma il coefficiente $3/2$ che fine fa?
$int_()^() (3x+2)/(x^2+x+1)dx=$ $3/2 int_()^() (2x+1+1/3)/(x^2+x+1)dx$ $=3/2 int_()^() (2x+1)/(x^2+x+1)dx+3/2*1/3int_()^() 1/(x^2+x+1)dx$
Ora al primo integrale hai al numeratore la derivata del denominatore mentre il secondo devi "lavorarlo" in modo da farci apparire la derivata di una funzione $arctg$:
$=ln sqrt((x^2+x+1)^3)+1/2int_()^() 1/(x^2+x+1/4+3/4)dx$ $=ln sqrt((x^2+x+1)^3)+1/2int_()^() 1/(3/4(4/3(x+1/2)^2+1))dx$ $=ln sqrt((x^2+x+1)^3)+1/2*4/3int_()^() 1/((2/sqrt(3)(x+1/2))^2+1)dx$ $=ln sqrt((x^2+x+1)^3)+1/2*4/3*sqrt(3)/2int_()^() (2/sqrt(3))/((2/sqrt(3)(x+1/2))^2+1)dx$ $=ln sqrt((x^2+x+1)^3)+sqrt(3)/3 arctg(2/sqrt(3)(x+1/2))+C$

[smaug1]

Grazie davvero molto chiaro...una cosa ma come si fanno le parentesi tonde o il simbolo di integrale più grossi in Latex?

[Ziben]

Le parentesi si adattano automaticamente alla dimensione di ciò che è scritto all'interno, mentre per il simbolo di integrale, quando scrivo qui sul forum, faccio int_()^() e poi racchiudo ovviamente l'espressione tra due simboli di dollaro $