COME CALCOLARE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE.

[Nicola Radano]

Ciao ragazzi, sto avendo non poche difficoltà con il calcolo generale di limiti di successioni.
Sareste così gentili da riuscirmi a spiegare un metodo (semplicemente) per risolverli?

Di seguito 2 esercizi, grazie ancora:

LIM X-->0 tang(x)(e^(2x)-1)/log(1+x^2)




LIM X-->0 arctg(sinx)(x)/x^3



Grazie anticipatamente. Buona Serata.

[Camillo]

Non è una successione ; se conosci gli sviluppi asintotici si può calcolare con un po' di attenzione : a quali termini dello sviluppo fermarsi ? questo è in genere il punto più complicato.
Il secondo limite non mi sembra scritto correttamente.

[Nicola Radano]

Non sono limiti di successioni?

In tutti i casi, come si calca un limite di una successione per X-->0?

Grazie.

[Camillo]

Primo limite : $ lim_(x rarr 0 ) (tan x*(e^(2x)-1))/(log(1+x^2 ) $
Gli sviluppi asintotici , per $x rarr 0 $ sono :
$tan x ~= x+x^3/3 ; e^x ~= 1+x+x^2/2+x^3/6 ; log(1+x^2 )~= x^2-x^4/2 $ e quindi
$ (tan x*(e^(2x)-1))/(log(1+x^2 ))~= ((x+x^3/3)(2x+2x^2+4x^3/3 ))/(x^2-x^4/2)$
Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al quarto e sviluppando i conti si ha :
$ ( 2x^2+2x^3+2x^4)/(x^2-x^4/2) = (2+2x+2x^2)/(1-x^2/2 ) $ e per $ x rarr 0 $ si otteien il limite pari a $ 2$.

[Nicola Radano]

Grazie Camillo, ma purtroppo non ho fatto glisviluppi asintotici... quindi mi riesce difficile comprendere.

Grazie comunque.

N.

[Camillo]

In questo caso dividi sia numeratore che denominatore della frazione per $2x^2 $ così:
$ (((tan x)/x)*(e^(2x)-1)/( 2x))/(log(1+x^2)/(2x^2)$ e adesso sfrutta i limiti notevoli...