Come calcolare integrale $int frac{1}{cos(x)} dx$

[anima123]

E' possibile utilizzare solo formule parametriche o secanti per fare questo integrale? Non ci è MAI stato spiegato nè con le formule parametriche nè con la secante, all'università.

[theras]

Ciao!
Non m'è chiara una cosa:
ma hai già sviluppato i conti ponendo t=tg$x/2$?
Saluti dal web.

[anima123]

si ma... poi? e poi porre $t = tg(frac{x}{2})$ non è un utilizzo di una forma parametrica? Mai fatto comunque.

[Kyl1]

Da $t=tg(x/2)$ ti ricavi $dx = 2dt/(1+t^2)$ e $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$. L'integrale diventa quindi $2 int dt/(1-t^2) = 2 atanh(t) = ln|(1+t)/(1-t)|$ da qui ritorni in x, e considerando la formula di bisezione per la tangente ottieni alla fine $int dx/cos(x) = ln|sec(x)+tg(x)|$

[theras]

T'illustro allora i passaggi secondo me salienti..
Da t=tg$x/2$ ricavi abbastanza facilmente che $x=2*arct$g$t$ e dunque $dx=D(2*arct text{g} t)dt=2/(1+t^2)dt$;
ricordando allora sia la formula parametrica relativa al coseno che il I° Teorema d'integrazione per sostituzione avrai

$int1/cosxdx=(int(1+t^2)/(1-t^2)*2/(1+t^2)dt)_(t=text{tg}x/2)=(2int1/((1-t)*(1+t))dt)_(t=text{tg}x/2)=$:
a questo punto integri quella funzione razionale fratta in t che è saltata fuori
(se non sei ancora in grado di farlo osserva che $2/((1+t)*(1-t))=((1+t)+(1-t))/((1+t)*(1-t))=cdots$),
ed il gioco è fatto!
Strategie più semplici e veloci di determinazione d'una primitiva non ne vedo,
ma mi piacerebbe se qualcuno avesse qualche bella pensata da suggerire in merito:
troppa carne al fuoco,in effetti,per arrivare ad un'espressioncina breve del tipo $log|(1-text{tg}x/2)/(1+text{tg}x/2)|+c$..
Saluti dal web.

[theras]

"Kyl":Da $t=tg(x/2)$ ti ricavi $dx = 2dt/(1+t^2)$ e $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$. L'integrale diventa quindi $2 int dt/(1-t^2) = 2 atanh(t) = ln|(1+t)/(1-t)|$ da qui ritorni in x, e considerando la formula di bisezione per la tangente ottieni alla fine $int dx/cos(x) = ln|sec(x)+tg(x)|$

"theras":T'illustro allora i passaggi secondo me salienti..
Da t=tg$x/2$ ricavi abbastanza facilmente che $x=2*arct$g$t$ e dunque $dx=D(2*arct text{g} t)dt=2/(1+t^2)dt$;
ricordando allora sia la formula parametrica relativa al coseno che il I° Teorema d'integrazione per sostituzione avrai

$int1/cosxdx=(int(1+t^2)/(1-t^2)*2/(1+t^2)dt)_(t=text{tg}x/2)=(2int1/((1-t)*(1+t))dt)_(t=text{tg}x/2)=$:
a questo punto integri quella funzione razionale fratta in t che è saltata fuori
(se non sei ancora in grado di farlo osserva che $2/((1+t)*(1-t))=((1+t)+(1-t))/((1+t)*(1-t))=cdots$),
ed il gioco è fatto!
Strategie più semplici e veloci di determinazione d'una primitiva non ne vedo,
ma mi piacerebbe se qualcuno avesse qualche bella pensata da suggerire in merito:
troppa carne al fuoco,in effetti,per arrivare ad un'espressioncina breve del tipo $log|(1-text{tg}x/2)/(1+text{tg}x/2)|+c$..
Saluti dal web.

Chiedo venia:
abbiamo fatto la coppia Newton-Liebnitz de noantri!!!
Saluti dal web.

[anima123]

vi ringrazio per l'aiuto. ma quindi fare le formule parametriche è come fare una semplice sostituzione?
@theras "ricordando allora sia la formula parametrica relativa al coseno ....". ho fatto una premessa all'inizio xD non so cosa sia una formula parametrica per il coseno ^^