Come calcolare i limiti
Ciao a tutti. Dovrei preparare un esame di analisi matematica, ma non riesco a capire come svolgere i limiti. Sui vari libri/dispense trovo tutta la teoria, cos'è il limite, limite destro/sinistro, asintoti, ma non riesco a capire come calcolarli per risolvere gli esercizi :/
Io fino ad ora ho sempre usato un metodo credo abbastanza rozzo. Per esempio, se x tende a infinito, sostituisco nella funzione al posto della x valori sempre più grandi, e vedo l'approssimazione del risultato ottenuto. Però per alcune funzioni complicate non è certo il massimo... Mi sono messo a cercare materiale su internet, e da alcuni esercizi svolti, mi sembra di aver capito che, per i limiti tendenti a un certo numero, basta sostituire nella funzione al posto della x quel numero per cui la x tende.
Ma per i limiti in cui la x tende a infinito, c'è un qualche metodo per risolverli in maniera semplice/veloce, senza dover usare il metodo rudimentale che dicevo prima?
Io fino ad ora ho sempre usato un metodo credo abbastanza rozzo. Per esempio, se x tende a infinito, sostituisco nella funzione al posto della x valori sempre più grandi, e vedo l'approssimazione del risultato ottenuto. Però per alcune funzioni complicate non è certo il massimo... Mi sono messo a cercare materiale su internet, e da alcuni esercizi svolti, mi sembra di aver capito che, per i limiti tendenti a un certo numero, basta sostituire nella funzione al posto della x quel numero per cui la x tende.
Ma per i limiti in cui la x tende a infinito, c'è un qualche metodo per risolverli in maniera semplice/veloce, senza dover usare il metodo rudimentale che dicevo prima?
Risposte
Dalle tue parole mi sembra proprio che sei a 0 come calcolo di limiti. Prenditi in mano un bell'eserciziario di analisi 1 e studia in modo sistematico, è l'unico modo per imparare.
Al punto in cui sei, ti conviene trovare un eserciziario e studiare le tecniche di base (che dovresti già aver appreso frequentando il corso).
Un eserciziario di base è il Marcellini-Sbordone, Esercitazioni di Matematica 1 parti prima e seconda, Liguori.
Un eserciziario di base è il Marcellini-Sbordone, Esercitazioni di Matematica 1 parti prima e seconda, Liguori.
si, effettivamente, dopo 4 anni che non faccio più matematica (l'avevo fatta al liceo, e neanche troppo bene..) non mi ricordo nulla, ed è come se partissi da 0.
Io ho un eserciziario, era allegato al libro di testo che usavo al liceo, però dopo le prime 10 pagine dedicate a "come fare per verificare un limite" passa a come risolvere le formule di indecisione che si presentano nel calcolo del limite. Il problema è che non riesco a capire come calcolare questi limiti in modo pratico, non lo spiega, e mi sembra strano..
Voglio farvi un esempio di esercizio che devo risolvere. Devo calcolare il limite $ lim_(n -> oo ) (2n^3 - n^5 + n^6) / (3n^6 + n^4 - 2) $ e il risultato che mi da è $ 4/3 $
Ho passato un po' di tempo a cercare di capire ai passaggi che può aver fatto, anche con l'aiuto di quel poco che ho trovato sull'erserciziario, ma non riesco a venirne a capo
Non conoscete per caso del materiale online in cui ciò è spiegato in modo chiaro? O nel caso, qualcuno avrebbe 2 minuti di tempo per spiegarmi anche velocemente come fare? a me servono i limiti per calcolare la convergenza o divergenza delle successioni, quindi mi interessano solo i limiti per x che tende a infinito.
Grazie per le risposte
Io ho un eserciziario, era allegato al libro di testo che usavo al liceo, però dopo le prime 10 pagine dedicate a "come fare per verificare un limite" passa a come risolvere le formule di indecisione che si presentano nel calcolo del limite. Il problema è che non riesco a capire come calcolare questi limiti in modo pratico, non lo spiega, e mi sembra strano..
Voglio farvi un esempio di esercizio che devo risolvere. Devo calcolare il limite $ lim_(n -> oo ) (2n^3 - n^5 + n^6) / (3n^6 + n^4 - 2) $ e il risultato che mi da è $ 4/3 $
Ho passato un po' di tempo a cercare di capire ai passaggi che può aver fatto, anche con l'aiuto di quel poco che ho trovato sull'erserciziario, ma non riesco a venirne a capo
Non conoscete per caso del materiale online in cui ciò è spiegato in modo chiaro? O nel caso, qualcuno avrebbe 2 minuti di tempo per spiegarmi anche velocemente come fare? a me servono i limiti per calcolare la convergenza o divergenza delle successioni, quindi mi interessano solo i limiti per x che tende a infinito.
Grazie per le risposte
un altra cosa ....... sei sicuro che viene 4/3 quel limite?
"dav892111":
un altra cosa ....... sei sicuro che viene 4/3 quel limite?
a me sembra strano, però ho riportato la soluzione dell'esercizio proposto dalla professoressa con cui farò l'esame.
la soluzione dice "converge a 4/3"
Se ho capito bene, e cioè la convergenza di una successione equivale al limite...
EDIT: aaaahhh, forse ho trovato l'errore! Nella pagina con tutti gli esercizi, c'è la funzione così come l'ho riportata io. Nella pagina delle soluzioni riporta la funzione + la soluzione, e nella funzione riportata insieme alla soluzione non è n^6 ma 4n^6. Quindi evidentemente un errore di battitura della professoressa.
A questo punto credo di aver capito il ragionamento con cui svolgere gli esercizi. Lo espongo in attesa di conferme o smentite
Dunque, prendendo la funzione che ho riportato prima, devo considerare solo l'elemento di grado maggiore (in quanto è il più significativo, gli altri elementi li scarto). Quindi otterrei $ (4n^6) / (3n^6) $ che, semplificato $ n^6 $ , risulta $ 4/3 $ . E' giusta la mia osservazione? Vale come regola generica?
ahhhhh ecco.
queste si risolvono in questo modo.
$ lim_(n -> oo ) (n^6*(4-(1/n)+(2/n^3)))/(n^6*(3+(1/n^2)-(2/n^6)))) $
In pratica,metti al numeratore il grado massimo in evidenza,fai cosi anche al numeratore.
Come vedi se svolgi la moltiplicazione esce quella che avevamo prima
quindi:
$ n^6/n^6 $ si semplifica,tutti gli altri termini come (1/n) ecc. tendono a zero e quindi ti rimane 4/3.
queste si risolvono in questo modo.
$ lim_(n -> oo ) (n^6*(4-(1/n)+(2/n^3)))/(n^6*(3+(1/n^2)-(2/n^6)))) $
In pratica,metti al numeratore il grado massimo in evidenza,fai cosi anche al numeratore.
Come vedi se svolgi la moltiplicazione esce quella che avevamo prima
quindi:
$ n^6/n^6 $ si semplifica,tutti gli altri termini come (1/n) ecc. tendono a zero e quindi ti rimane 4/3.
grazie, credo di aver capito ora! Ho anche riguardato la teoria sul libro, e alcuni passaggi che non capivo, ora sono molto più chiari!
Ho solo un paio di dubbi Fra gli esercizi che ho fatto, ce n'è uno che non capisco.
$ lim_(n -> oo) root(2)(n^2 +1) -n = 0 $ Come mai tende a 0? se io faccio $ root(2)(n^2 * (1 + 1/n^2)) -n $ , porto fuori la n $ n * root(2)(1 + 1/n^2) -n $ , la radice diventa 1, e avrei $ oo - oo$ . Cioè indeterminata. Perchè mi riporta 0 come risultato?
Poi c'è una successione molto simile: $ lim_(n -> oo) root(2)(n^2 +1) -2n $ e questa successione diverge. Il motivo è perchè risulta $ oo - 2oo$ , e quindi essendo il secondo termine un "infinito di grado superiore", risulta $ -oo $ ? Oppure il motivo è un altro?
Ho solo un paio di dubbi Fra gli esercizi che ho fatto, ce n'è uno che non capisco.
$ lim_(n -> oo) root(2)(n^2 +1) -n = 0 $ Come mai tende a 0? se io faccio $ root(2)(n^2 * (1 + 1/n^2)) -n $ , porto fuori la n $ n * root(2)(1 + 1/n^2) -n $ , la radice diventa 1, e avrei $ oo - oo$ . Cioè indeterminata. Perchè mi riporta 0 come risultato?
Poi c'è una successione molto simile: $ lim_(n -> oo) root(2)(n^2 +1) -2n $ e questa successione diverge. Il motivo è perchè risulta $ oo - 2oo$ , e quindi essendo il secondo termine un "infinito di grado superiore", risulta $ -oo $ ? Oppure il motivo è un altro?
nessuno?
"Loverdrive":
grazie, credo di aver capito ora! Ho anche riguardato la teoria sul libro, e alcuni passaggi che non capivo, ora sono molto più chiari!
Ho solo un paio di dubbi Fra gli esercizi che ho fatto, ce n'è uno che non capisco.
$ lim_(n -> oo) root(2)(n^2 +1) -n = 0 $ Come mai tende a 0? se io faccio $ root(2)(n^2 * (1 + 1/n^2)) -n $ , porto fuori la n $ n * root(2)(1 + 1/n^2) -n $ , la radice diventa 1, e avrei $ oo - oo$ . Cioè indeterminata. Perchè mi riporta 0 come risultato?
Poi c'è una successione molto simile: $ lim_(n -> oo) root(2)(n^2 +1) -2n $ e questa successione diverge. Il motivo è perchè risulta $ oo - 2oo$ , e quindi essendo il secondo termine un "infinito di grado superiore", risulta $ -oo $ ? Oppure il motivo è un altro?
Non è corretto, ma spero capirai dopo aver seguito il ragionamento:
$lim_(n -> +oo) root(2)(n^2 +1) -n$
Questo limite in realtà è quasi immediato: per $n$ che tende ad infinito, $n^2+1$ è asintoticamente equivalente a $n^2$. In pratica al crescere di $n$, il termine $1$ diventa trascurabile.
In sostanza il limite diventa uguale a $lim_(n -> +oo) root(2)(n^2) -n = lim_(n->+oo) n-n = 0$
Il secondo limite quindi diverge perché si riduce a $lim_(n->+oo) n-2n = lim_(n->+oo) -n = -oo$
Tutto chiaro?
"The_Mad_Hatter":
In sostanza il limite diventa uguale a $lim_(n -> +oo) root(2)(n^2) -n = lim_(n->+oo) n-n = 0$
Il secondo limite quindi diverge perché si riduce a $lim_(n->+oo) n-2n = lim_(n->+oo) -n = -oo$
Tutto chiaro?
si, esatto, come avevo scritto anche io. Il mio dubbio è: se ho $ oo - oo$ il risultato è quindi sempre 0? Perchè nella teoria lo definisce una forma indeterminata, che non si può calcolare.
"Loverdrive":
Il mio dubbio è: se ho $ oo - oo$ il risultato è quindi sempre 0? Perchè nella teoria lo definisce una forma indeterminata, che non si può calcolare.
Assolutamente no!
E' una forma indeterminata.
L'unica cosa che possiamo dire e che se $lim = l in RR$, allora i due infiniti sono dello stesso ordine, se $lim = +oo$ allora il primo infinito è di ordine superiore rispetto al secondo, se $lim = -oo$ il secondo infinito è di ordine superiore rispetto al primo.
Ma occhio alla definizione di ordine: non ha senso parlare di $oo - 2*oo$, nè tantomeno si può dire che $2*(+oo)$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $+oo$!!
Concludo con un piccolo esempio/esercizio:
Prova a calcolare $lim_(x->+oo)x-2ln(x)$.
"The_Mad_Hatter":
[quote="Loverdrive"]Il mio dubbio è: se ho $ oo - oo$ il risultato è quindi sempre 0? Perchè nella teoria lo definisce una forma indeterminata, che non si può calcolare.
Assolutamente no!
E' una forma indeterminata.
L'unica cosa che possiamo dire e che se $lim = l in RR$, allora i due infiniti sono dello stesso ordine, se $lim = +oo$ allora il primo infinito è di ordine superiore rispetto al secondo, se $lim = -oo$ il secondo infinito è di ordine superiore rispetto al primo.
Ma occhio alla definizione di ordine: non ha senso parlare di $oo - 2*oo$, nè tantomeno si può dire che $2*(+oo)$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $+oo$!!
[/quote]
E' quello che pensavo anche io. Ma allora perchè, nell'esercizio "dire se questa successione converge e diverge", mi dice che la successione converge a 0, se risulta $oo - oo$ ? e invece, nell'esercizio successivo, risulta $oo - 2oo$ e mi dice che la successione diverge. Come faccio a risolvere questi casi?
Concludo con un piccolo esempio/esercizio:
Prova a calcolare $lim_(x->+oo)x-2ln(x)$.
beh, ln(x) tende a infinito, quindi risulta $oo - 2oo$ come nell'esercizio precedente. E se questa fosse una successione, converge o diverge?
"Loverdrive":
E' quello che pensavo anche io. Ma allora perchè, nell'esercizio "dire se questa successione converge e diverge", mi dice che la successione converge a 0, se risulta $oo - oo$ ? e invece, nell'esercizio successivo, risulta $oo - 2oo$ e mi dice che la successione diverge. Come faccio a risolvere questi casi?
Beh, un esempio te l'ho fatto vedere prima.
Per risolvere i limiti, devi conoscere qualche limite notevole, conoscere gli ordini di infinito e saper applicare bene le equivalenze asintotiche (vedi anche http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica ).
beh, ln(x) tende a infinito, quindi risulta $oo - 2oo$ come nell'esercizio precedente. E se questa fosse una successione, converge o diverge?
Se fosse una successione, all'infinito avrebbe esattamente lo stesso comportamento della funzione (infatti $f(n) = n - 2ln(n)$, ovvero la funzione negli $x$ naturali assume gli stessi valori della successione $a_n = n - 2ln(n)$.
Suggerimento: per risolvere il limite, prova a mettere in evidenza la $n$ e poi dà un'occhiata alle gerarchie di infiniti.
$ n*sqrt(1+(1 // n^(2) )) -n
ora raccogli n:
n(sqrt(1+(1 // n^2))-1) $
ora moltiplico e divido per lo stesso numero:
$ n*(sqrt(1+(1//n^2))-1)*(sqrt(1+(1//n^2))+1)//(sqrt(1+(1//n^2))+1) $
e dato che è $ (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 $ si ha:
$ n(1+(1//n^2)-1)//(sqrt(1+(1//n^2))+1) $
semplificando +1 e -1 e facendo la moltiplicazione al numeratore:
$ (1//n)//(sqrt(1+(1//n^2))+1) $
tornando al limite, per $ nrarr oo $ il numeratore $ 1//n $ tende a 0.
Al denominatore $ 1//n^2 $ dentro la radice tende a 0, perciò la radice tende a 0+1 e tutto il denominatore a 2.
Quindi tutta la frazione tende a $ 0//2 $ , cioè 0.
ora raccogli n:
n(sqrt(1+(1 // n^2))-1) $
ora moltiplico e divido per lo stesso numero:
$ n*(sqrt(1+(1//n^2))-1)*(sqrt(1+(1//n^2))+1)//(sqrt(1+(1//n^2))+1) $
e dato che è $ (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 $ si ha:
$ n(1+(1//n^2)-1)//(sqrt(1+(1//n^2))+1) $
semplificando +1 e -1 e facendo la moltiplicazione al numeratore:
$ (1//n)//(sqrt(1+(1//n^2))+1) $
tornando al limite, per $ nrarr oo $ il numeratore $ 1//n $ tende a 0.
Al denominatore $ 1//n^2 $ dentro la radice tende a 0, perciò la radice tende a 0+1 e tutto il denominatore a 2.
Quindi tutta la frazione tende a $ 0//2 $ , cioè 0.
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