Come arrivo a questa soluzione dell' equazione differenziale?

[ImpaButty]

Salve! Vi chiedo aiuto per quanto riguarda la soluzione di una equazione differenziale.
Sul libro che sto studiando viene detto che la soluzione dell'equazione differenziale ordinaria: $\phi''+2t\phi'+(4k+2)\phi=0$ è $\phi= (d/dt)^(2k)[e^(-t^2)]$.
Ho sostenuto tantissimo tempo fa l'esame di analisi matematica 2 e sono mooolto arrugginita sulle equazioni differenziali ( ),potreste aiutarmi suggerendomi dei possibili ragionamenti o osservazioni da fare per giungere a questa conclusione?
Grazie in anticipo!

[vict85]

Ho sinceramente qualche dubbio sulla soluzione. Quel \(2k\) sarebbe la derivata \(2k\)-esima?

Comunque quella è un'equazione differenziale lineare di secondo ordine omogenea a termini non costanti.

[gugo82]

Mah... Innanzitutto, a occhio, non direi che quella roba lì è una EDO risolvibile elementarmente.
Molto probabilmente, le soluzioni coinvolgono funzioni speciali.

Tanto per semplificare un po' i conti, nota che, posto:
\[
\phi (t) = e^{-t^2}\ u(t)
\]
hai:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (t) &= e^{-t^2}\ \Big( -2t\ u(t) + u^\prime (t)\Big)\\
\phi^{\prime \prime} (t) &= e^{-t^2}\ \Big( 4t^2\ u(t) -2t\ u^\prime (t) - 2\ u(t) -2t\ u^\prime (t) + u^{\prime \prime}(t)\Big)\\
&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -4t\ u^\prime (t) + (4t^2 -2)\ u(t)\Big)
\end{split}
\]
sicché:
\[
\begin{split}
\phi^{\prime \prime} (t) +2t\ \phi^\prime (t) + (4k+2)\ \phi(t)&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -4t\ u^\prime (t) + (4t^2 -2)\ u(t)\Big) \\
&\phantom{=} + e^{-t^2}\ \Big( -4t^2\ u(t) + 2t\ u^\prime (t)\Big) \\
&\phantom{=} + (4k+2)\ e^{-t^2}\ u(t)\\
&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -2t\ u^\prime (t) +4k\ u(t)\Big)\; ;
\end{split}
\]
conseguentemente la nuova incognita $u$ risolve la EDO:
\[
u^{\prime \prime}(t) -2t\ u^\prime (t) +4k\ u(t) = 0
\]
ed, ovviamente, le soluzioni di tale EDO (che è lineare e del secondo ordine, ma ha coefficienti non costanti!) dipendono dai valori del parametro $k$.

[ImpaButty]

"gugo82":Mah... Innanzitutto, a occhio, non direi che quella roba lì è una EDO risolvibile elementarmente.
Molto probabilmente, le soluzioni coinvolgono funzioni speciali.

Tanto per semplificare un po' i conti, nota che, posto:
\[
\phi (t) = e^{-t^2}\ u(t)
\]
hai:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (t) &= e^{-t^2}\ \Big( -2t\ u(t) + u^\prime (t)\Big)\\
\phi^{\prime \prime} (t) &= e^{-t^2}\ \Big( 4t^2\ u(t) -2t\ u^\prime (t) - 2\ u(t) -2t\ u^\prime (t) + u^{\prime \prime}(t)\Big)\\
&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -4t\ u^\prime (t) + (4t^2 -2)\ u(t)\Big)
\end{split}
\]
sicché:
\[
\begin{split}
\phi^{\prime \prime} (t) +2t\ \phi^\prime (t) + (4k+2)\ \phi(t)&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -4t\ u^\prime (t) + (4t^2 -2)\ u(t)\Big) \\
&\phantom{=} + e^{-t^2}\ \Big( -4t^2\ u(t) + 2t\ u^\prime (t)\Big) \\
&\phantom{=} + (4k+2)\ e^{-t^2}\ u(t)\\
&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -2t\ u^\prime (t) +4k\ u(t)\Big)\; ;
\end{split}
\]
conseguentemente la nuova incognita $u$ risolve la EDO:
\[
u^{\prime \prime}(t) -2t\ u^\prime (t) +4k\ u(t) = 0
\]
ed, ovviamente, le soluzioni di tale EDO (che è lineare e del secondo ordine, ma ha coefficienti non costanti!) dipendono dai valori del parametro $k$.

In realtà l'equazione così come la trovo sul libro ha questa forma: $\phi''_(\alpha^2)+2t\phi'_(\alpha^2)+\alpha^2\phi_(\alpha^2)$. Viene poi assunto che $\alpha^2=4k+2$ con k intero e da qui "si vede facilmente che questa equazione differenziale ha come soluzione $(d/dt)^(2k)e^(-t^2)$".
Ho omesso $\alpha^2$, sostituendola direttamente con il valore che supponeva il libro di dare a questa costante...scritta in questo modo invece sai dirmi se questa equazione diventa risolvibile/comprensibile più facilmente? $\phi_(\alpha^2)$ è una particolare funzione che non conosco?