Come applicare il criterio del rapporto a questa serie di potenze?

[astridsofiafiorentino]

$ sum (1/n-sen (1/n))(z-2i)^-n $

[Zero87]

Salve!

Ponendo $t= z-2i$ ottieni
$\sum_(n=1)^\infty ("quello che è")t^(-n)$

ponendo $y=1/t$ hai, infine
$\sum_(n=1)^\infty ("quello che è") (1/y)^(-n)$
ovvero
$\sum_(n=1)^\infty ("...") y^n$

E la studi, dopodiché rifai i vari passaggi all'indietro. Non garantisco il successo, ma dovrebbe funzionare...

[astridsofiafiorentino]

grazie infinite!

[Zero87]

"Ipazia380":grazie infinite!

Di nulla, vedi comunque se funziona.

EDIT
Riprendo da qua (senza andare avanti a multiposting, sennò diventa un casino).
http://matematicamente.it/forum/viewtop ... 21#p780421

Il problema è proprio calcolare
$\lim_(n->+\infty) |\frac{a_(n+1)}{a_n}|$

In questo caso, infatti, otteniamo
$\lim_(n->+\infty) |\frac{1/(n+1)-sin(1/(n+1))}{1/n-sin(1/n)}|$
comunque visto così è un gran bel problema, anche raccogliendo raccogliendo $1/(n+1)$ al numeratore e $1/n$ al denominatore resta comunque una forma indeterminata.

Ora, spremendo le meningi,
$1/(n+1)= 1/(n(1+1/n))= 1/n \cdot 1/(1+1/n)$

ponendo $x=1/n$ ottengo
$\lim_(x->0^+) |\frac{x/(1+x)- sin(x/(1+x))}{x-sin(x)}|$
che magari con l'Hopital dovrebbe dare qualche soddisfazione...

Ora, questa tecnica di sostituire $x=1/n$ quando c'erano tutti $1/n$ in giro, l'aveva spiegata durante il corso il prof. di analisi 1, ma siccome sono passati più di 6 anni... non me recordo più perché 'se po' fa!