Come applicare il confronto in questo caso
Studiare il carattere di questa serie $\sum_{n=1}^oo (-1^n) * (n-1)/n^n$
Facendo il limite, noto subito che vale la condizione necessaria per la convergenza perchè il limite fa zero.
Devo verificare la convergenza assoluta. Come faccio ad applicare in questo caso il metodo del confronto?
Perchè comunque so che dopo dovrei applicare la definizione di convergenza assoluta, quindi se la serie dei moduli è assolutamente convergente allora posso dire che che anche lei è assolutamente convergente...
Facendo il limite, noto subito che vale la condizione necessaria per la convergenza perchè il limite fa zero.
Devo verificare la convergenza assoluta. Come faccio ad applicare in questo caso il metodo del confronto?
Perchè comunque so che dopo dovrei applicare la definizione di convergenza assoluta, quindi se la serie dei moduli è assolutamente convergente allora posso dire che che anche lei è assolutamente convergente...
Risposte
Che ne dici di applicare Leibniz?
Ciao jarrod,
Se vuoi studiare la convergenza assoluta della serie che hai proposto (occhio che c'è un errore di battitura, è $(-1)^n$, non $(- 1^n)$ che farebbe sempre $-1$...), devi studiare la convergenza della serie seguente:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n-1)/n^n$
Più che il metodo del confronto, io userei il criterio del rapporto: con quest'ultimo si vede subito che è convergente.
Se vuoi studiare la convergenza assoluta della serie che hai proposto (occhio che c'è un errore di battitura, è $(-1)^n$, non $(- 1^n)$ che farebbe sempre $-1$...), devi studiare la convergenza della serie seguente:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n-1)/n^n$
Più che il metodo del confronto, io userei il criterio del rapporto: con quest'ultimo si vede subito che è convergente.
@pilloeffe si, hai ragione, ho fatto un errore di battitura. Ora ho capito, un' ultima cosa, perchè hai escluso $(-1)^n$?
Beh, hai scritto tu che devi studiare la convergenza assoluta:
e $|(-1)^n| = 1$, per questo "ho escluso" $(-1)^n$ (cioè in realtà non l'ho escluso, ne ho semplicemente fatto il valore assoluto).
Come sai, se una serie è assolutamente convergente è anche semplicemente convergente. Il viceversa invece non è vero: basta che pensi alla serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n frac{1}{n}$
che è semplicemente convergente a $\ln(frac{1}{2})$, ma non assolutamente convergente (diventa la famosa serie armonica).
"jarrod":
Devo verificare la convergenza assoluta.
e $|(-1)^n| = 1$, per questo "ho escluso" $(-1)^n$ (cioè in realtà non l'ho escluso, ne ho semplicemente fatto il valore assoluto).
Come sai, se una serie è assolutamente convergente è anche semplicemente convergente. Il viceversa invece non è vero: basta che pensi alla serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n frac{1}{n}$
che è semplicemente convergente a $\ln(frac{1}{2})$, ma non assolutamente convergente (diventa la famosa serie armonica).
sisi è vero, ora capisco! scusa un' ultima cosa, per applicare il criterio del rapporto devo fare il limite e poi vedo in base se è il limite maggiore o minore se è convergente o divergente.
Però il limite mi viene 0.
L'ho impostato male secondo te?
$\lim_{n \to \infty}(n -1 + 1)/(n^(n+1) + 1) * n^n/ (n - 1)$
Però il limite mi viene 0.
L'ho impostato male secondo te?
$\lim_{n \to \infty}(n -1 + 1)/(n^(n+1) + 1) * n^n/ (n - 1)$
Sì, l'hai impostato male, però è vero che il limite fa $0 < 1$, per cui la serie converge.
$\lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty}frac{frac{n}{(n + 1)^{n + 1}}}{frac{n - 1}{n^{n}}} = \lim_{n \to +\infty} frac{n}{n - 1} \cdot frac{n^n}{(n + 1)^{n + 1}} = $
$= \lim_{n \to +\infty} frac{n}{n - 1} \cdot frac{1}{n + 1} \cdot frac{n^n}{(n + 1)^{n}} = \lim_{n \to +\infty} frac{n}{n^2 - 1} \cdot (frac{n}{n + 1})^n = 0$
dato che $ \lim_{n \to +\infty} (frac{n}{n + 1})^n = frac{1}{e}$.
$\lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty}frac{frac{n}{(n + 1)^{n + 1}}}{frac{n - 1}{n^{n}}} = \lim_{n \to +\infty} frac{n}{n - 1} \cdot frac{n^n}{(n + 1)^{n + 1}} = $
$= \lim_{n \to +\infty} frac{n}{n - 1} \cdot frac{1}{n + 1} \cdot frac{n^n}{(n + 1)^{n}} = \lim_{n \to +\infty} frac{n}{n^2 - 1} \cdot (frac{n}{n + 1})^n = 0$
dato che $ \lim_{n \to +\infty} (frac{n}{n + 1})^n = frac{1}{e}$.
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