Collegamento tra Lipschitzianità e unicità soluzione Cauchy?

[Sermazzo]

Durante il corso di Analisi 2 ci è stato fornito il teorema secondo il quale, dato un problema di Cauchy del tipo
$\{(y'=f(x,y)),(y(x_0)=y_0):}$ con $f:I\timesJ->\mathbb{R},$ $f\inC^0(I\timesJ)$ e $x_0\inI,$ $y_0\inJ$
sotto l'ipotesi di lipschitzianità di $f$ in y uniformemente rispetto a x su un intorno di $(x_0,y_0)$, la soluzione locale esiste ed è unica.
Ora, premetto che i vari aspetti dell'analisi qualitativa delle soluzioni di un problema di Cauchy mi sono chiari, ma non riesco a collegare concettualmente la lipschitzianità all'unicità della soluzione locale. Cioè al di là di dimostrazioni e di aspetti prettamente teorico-formali, detto in parole povere, perché se una certa funzione non supera una determinata costante di crescita (è cioè lipschitziana) la soluzione del problema di Cauchy in cui è coinvolta è localmente unica?

[gugo82]

Perché altrimenti ci sono controesempi.

Per intenderci, considera il PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = 3 y^{\frac{2}{3}} (x) \\
y(0) =0\; :
\end{cases}
\]
esso ha per soluzione $y(x) =x^3$ ma anche ogni funzione della famiglia a due parametri:
\[
y(x; a,b) = \begin{cases}
(x-a)^3 &\text{, se } x < a\\
0 &\text{, se } a\leq x \leq b\\
(x-b)^3 &\text{, se } x>b
\end{cases}
\]
con $-\infty \leq a \leq 0\leq b\leq +\infty$.
Nota che la funzione $f(x,y):= 3y^{2/3}$ non è Lipschtziana in $(0,0)$.

In generale, si dimostra che quando non c'è unicità per il PdC (e.g., quando nel punto iniziale non è soddisfatta un condizione di Lipschtz) allora tutte le possibili soluzioni sono comprese tra una soluzione"massimale" ed una soluzione"minimale" (nel senso della relazione d'ordine), i cui grafici delimitano una regione di piano per ogni punto della quale passa una curva appartenente alla famiglia delle soluzioni del PdC detta pennello di Peano.
Questo fenomeno è usualmente noto come fenomeno di Peano.
Nel caso in esame, le due soluzioni massimale e minimale sono $y(x;-\infty ,0)$ e $y(x; 0,+\infty)$.