Collegamento Algebra-analisi: polinomio caratteristico
Ciao a tutti,
sto studiando le equazioni differenziali lineari quando ad un certo punto mi è sembrato di fare una lezione di algebra sulle trasformazioni lineari.
Quindi la mia domanda è un pò generica: il polinomio caratteristico nelle equazioni differenziali lin è lo stesso polinomio caratteristico che si calcola nelle trasformazioni lineari |M-tI|=0 (dove M è la matrice associata alla trasformazione lineare e I la matrice identica di ordine n)? E se si, vorrei sapere di più su questa sovrapposizione algebra/equazioni differenziali (partendo dal fatto che le eq. differenziali lineari SONO trasf. lineari, ecc...)
p.s. si accettano anche fonti esterne
sto studiando le equazioni differenziali lineari quando ad un certo punto mi è sembrato di fare una lezione di algebra sulle trasformazioni lineari.
Quindi la mia domanda è un pò generica: il polinomio caratteristico nelle equazioni differenziali lin è lo stesso polinomio caratteristico che si calcola nelle trasformazioni lineari |M-tI|=0 (dove M è la matrice associata alla trasformazione lineare e I la matrice identica di ordine n)? E se si, vorrei sapere di più su questa sovrapposizione algebra/equazioni differenziali (partendo dal fatto che le eq. differenziali lineari SONO trasf. lineari, ecc...)
p.s. si accettano anche fonti esterne
Risposte
Il polinomio caratteristico che si studia in algebra lineare, sì, è lo stesso che si usa nei sistemi di equazioni differenziali. Appunto in quanto avendo la matrice associata a N trasformazioni lineari possiamo trattarla come una qualsiasi matrice associata ad endomorfismi (nella speranza che sia diagonalizzabile ^^)
Penso che fabiostyle stia parlando del polinomio caratteristico associato ad UNA SOLA equazione differenziale...sinceramente non ci vedo nessun nesso, mi sembra un semplice "caso di omonimia" 
ma aspetta che qualcuno più informato risponda per esserne sicuro! Ciao 
ma aspetta che qualcuno più informato risponda per esserne sicuro! Ciao
"Plepp":
Penso che fabiostyle stia parlando del polinomio caratteristico associato ad UNA SOLA equazione differenziale...sinceramente non ci vedo nessun nesso, mi sembra un semplice "caso di omonimia"
Ops, ho letto sistema non so come, pardon
"Plepp":
Penso che fabiostyle stia parlando del polinomio caratteristico associato ad UNA SOLA equazione differenziale...sinceramente non ci vedo nessun nesso, mi sembra un semplice "caso di omonimia"
No, non è semplice omonimia. Sono proprio la stessa cosa.
Per vederlo, basta prendere l'equazione differenziale (lineare omogenea, in forma normale) $y^{(n)}=a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+ \ldots +a_1(x)y(x)$ e scriverla come sistema del primo ordine di $n$ equazioni (il trucco è sempre lo stesso: si pone $z_1=y$, $z_2=y'$ etc fino a $z_n=y^{(n)}$ e l'incognita diventa la funzione vettoriale [tex]z\colon t \mapsto (z_1(t), \ldots , z_n(t))[/tex]): in altre parole, si scrive $z'=Az$ con $A$ matrice quadrata (di funzioni!).
Per vedere la magia, scrivete esplicitamente la matrice associata a questo sistema del primo ordine
Paolo90 è stato completissimo.
Per allungare un po' il brodo, dico che la matrice così ottenuta è "particolare": è una matrice di Sylvester, cioè ha $1$ sulla sopradiagonale, e i coefficienti del polinomio sull'ultima riga (in ordine, al contrario).
Domanda: ma perchè incasinarci la vita con le matrici?
1) in realtà le matrici servono solo a giustificarti il nome, ma tutto sommato non ti serve per trovare il polinomio caratteristico
2) ragionare con sistemi di ordine $1$ e non con equazioni di ordine più alto rende le cose più semplici per affrontare ad esempio lo studio di alcune equazioni alle derivate parziali, ad esempio per problemi legati alla buona positura dei Problemi di Cauchy per equazioni alle derivate parziali (per le equazioni ordinarie, è una cosa "naturale", così naturale non è per le equazioni alle derivate parziali). Se volete continuo a sproloquiare .
Per allungare un po' il brodo, dico che la matrice così ottenuta è "particolare": è una matrice di Sylvester, cioè ha $1$ sulla sopradiagonale, e i coefficienti del polinomio sull'ultima riga (in ordine, al contrario).
Domanda: ma perchè incasinarci la vita con le matrici?
1) in realtà le matrici servono solo a giustificarti il nome, ma tutto sommato non ti serve per trovare il polinomio caratteristico
2) ragionare con sistemi di ordine $1$ e non con equazioni di ordine più alto rende le cose più semplici per affrontare ad esempio lo studio di alcune equazioni alle derivate parziali, ad esempio per problemi legati alla buona positura dei Problemi di Cauchy per equazioni alle derivate parziali (per le equazioni ordinarie, è una cosa "naturale", così naturale non è per le equazioni alle derivate parziali). Se volete continuo a sproloquiare
.
"Gaal Dornick":
Se volete continuo a sproloquiare
Io lascerei perdere, rischi di confondere le idee.
@fabiostyle: Se ti sei incuriosito e cerchi altre informazioni una buona risorsa online è Teschl, "Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems":
http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/
Il terzo capitolo parla proprio delle equazioni lineari e tratta con un certo dettaglio le applicazioni dell'algebra lineare classica.
sinceramente non ci vedo nessun nesso, mi sembra un semplice "caso di omonimia" ma aspetta che qualcuno più informato risponda per esserne sicuro!
"yuchen2023":
sinceramente non ci vedo nessun nesso, mi sembra un semplice "caso di omonimia" ma aspetta che qualcuno più informato risponda per esserne sicuro!
In realtà c'è diversa gente più preparata che ha già risposto affermativamente...
"yuchen2023":
sinceramente non ci vedo nessun nesso, mi sembra un semplice "caso di omonimia" ma aspetta che qualcuno più informato risponda per esserne sicuro!
Voglio i diritti d'autore
"Paolo90":
[quote="Plepp"]Penso che fabiostyle stia parlando del polinomio caratteristico associato ad UNA SOLA equazione differenziale...sinceramente non ci vedo nessun nesso, mi sembra un semplice "caso di omonimia"
No, non è semplice omonimia. Sono proprio la stessa cosa.
Per vederlo, basta prendere l'equazione differenziale (lineare omogenea, in forma normale) $y^{(n)}=a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+ \ldots +a_1(x)y(x)$ e scriverla come sistema del primo ordine di $n$ equazioni (il trucco è sempre lo stesso: si pone $z_1=y$, $z_2=y'$ etc fino a $z_n=y^{(n)}$ e l'incognita diventa la funzione vettoriale [tex]z\colon t \mapsto (z_1(t), \ldots , z_n(t))[/tex]): in altre parole, si scrive $z'=Az$ con $A$ matrice quadrata (di funzioni!).
Per vedere la magia, scrivete esplicitamente la matrice associata a questo sistema del primo ordine
[/quote]Interessante! Grazie Paolo
Che bello! ho suscitato un po di risposte: mi fa tanto piacere! appena ho tempo inizio a riflettere e giocare sulle informazioni che mi avete dato e a leggere il capitolo consigliatomi da voi.
Non ti preoccupare: mi piace troppo sproloquiare! Sulla cultura in generale sono convinto che è sempre meglio dire qualcosa in più che qualcosa in meno!..ma nella vita vale sempre la famosa regola delle 10P! (Prima Pensare Poi Parlare, Perchè Parola Poco Pensata Porta Pegno).
P.s. manco me ne sono reso conto ed ho sproloquiato anche io
appena ho tempo inizio a riflettere e giocare sulle informazioni che mi avete dato e a leggere il capitolo consigliatomi da voi."Gaal Dornick":
[...] Se volete continuo a sproloquiare
Non ti preoccupare: mi piace troppo sproloquiare! Sulla cultura in generale sono convinto che è sempre meglio dire qualcosa in più che qualcosa in meno!..ma nella vita vale sempre la famosa regola delle 10P! (Prima Pensare Poi Parlare, Perchè Parola Poco Pensata Porta Pegno).
P.s. manco me ne sono reso conto ed ho sproloquiato anche io
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