Coerenza Leibniz-Taylor per le serie

[Gmork]

Salve,

Dopo aver studiato lo sviluppo di Taylor (o Mac Laurin) di $\log (1+x)$ risulta che la serie $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n=\log (1+x)$ e quindi la convergenza della serie.

Ma se volessi provare tale convergenza con il Criterio di Leibniz, come potrei provare che il termine $\frac{x^n}{n}$ va a zero con monotonia $\forall x> -1$?


EDIT: credo di esserci riuscito ma non riesco a proseguire o meglio mi perdo in un bicchiere d'acqua:

Applicando il criterio del rapporto ad $\frac{x^n}{n}$ con $x> -1$ ottengo

$\lim_{n\to +\infty} |\frac{x^{n+1}}{x^n}|\frac{n}{n+1}=|x|$ ora però mi blocco perchè non so provare che $|x|<1$ se $x> -1$

EDIT 2: Allora ho riflettuto sul fatto che $|x|<1$ si ha quando $-1 Per $x=1$ certamente $\frac{1}{n}\to 0$
e mi sono bloccato nuovamente quando per $x>1$ $\frac{x^n}{n}$ dovrebbe divergere per $n\to +\infty$

[dissonance]

Che casino

Intanto per quali $x$ converge quello sviluppo in serie di $log(1+x)$? Sei sicuro che sia $-1

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[Gmork]

Si, infatti. A dir la verità l'ho scoperto dopo che quello sviluppo in serie converge per $x\in ]-1,1]$ E ciò sarebbe coerente col mio tentativo di dimostrare la convergenza della serie attraverso il criterio di Leibniz, infatti mi risulta che con quei valori di $x$ che $\lim_{n\to +\infty} \frac{x^n}{n}=0

Ora devo far vedere solo che tale successione è limitata e converge a zero con monotonia, così come la vuole Liebniz, solo che c'è una cosa che mi confonde:

se quella serie converge a $\log (1+x)$ per diciamo $|x|<1$ allora essendo $0<|x|<1$ segue che $|x|^n>|x|^{n+1}$ ossia la successione è monotona decrescente, ma come faccio a dire che lo è anche senza valore assoluto. Spero di essermi spiegato

[dissonance]

Ma perché ti sei fissato con il criterio di Leibnitz? Infatti, non è direttamente applicabile. Prendi $x=-0.5$. La successione $(x^n)/n$ non è mica monotona:

$-0.5, 0.125, -0.0417, ...$

[Gmork]

Vuoi dire che il carattere di quella serie senza l'applicazione dello sviluppo di Mac Laurin non si può studiare?

[dissonance]

Non ho detto "non si può studiare". Ho detto "non è direttamente applicabile il criterio di Leibnitz". Ti sembra che queste due affermazioni siano la stessa cosa? Non esiste solo il criterio di Leibnitz. Infatti, ti anticipo che quella serie converge assolutamente per $x$ in $(-1, 1)$. Prova a dimostrare questo; ti ricordo che Leibnitz non c'entra nulla con la convergenza assoluta. Poi, poni $x=1$ e solo adesso, applicando il criterio di Leibnitz, verifica che la serie risultante converge non assolutamente.

[Gmork]

Adesso ci provo, grazie.

[Gmork]

Dunque...

$|(-1)^{n+1}\frac{x^n}{x}|=|\frac{x^n}{n}|$ che abbiamo visto essere convergente a $0$ mediante il criterio del rapporto quando $|x|<1$ ossia quando $-1
Se $x=1$ la serie diventa la classica serie a segni alterni $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ che per il Criterio di Leibniz, essendo $\frac{1}{n}$ tendente allo zero con monotonia, la serie risulta convergente.

Sbagliato qualcosa? (PS: chiedo venia per il crossposting )

[dissonance]

Ok, giusto. E per altri valori di $x$ che fa la serie? Per esempio, per $x=2$ e $x=-2$ che succede?

[Gmork]

Diverge. Infatti proprio per questo motivo quello sviluppo è valido per $x\in ]-1,1]$

EDIT: Lo si può vedere perchè applicando il criterio del rapporto ad $|(-1)^{n+1}\frac{x^n}{x}|=|\frac{x^n}{n}|$ risulta che $\lim_{n\to +\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|x|>1$ se supponiamo $x>1$ o $x\le -1$

[dissonance]

Togli l'uguaglianza dall'ultimo segno di minore o uguale. Infatti se $x=-1$ allora $|x|=1$. Quindi il criterio del rapporto non ci dice nulla. E allora che facciamo? Cosa fa quella serie per $x=-1$?

[Gmork]

Se $x=1$ la serie diventa $\sum \frac{(-1)^{2n+1}}{n}$ che dovrebbe essere una serie a segno costante essendo $(-1)^{2n+1}=-1$ $\forall n\in \mathbb{N}$ quindi diventa $(-1)\sum \frac{1}{n}$ dove troviamo una serie armonica (divergente) e quindi la serie diverge negativamente.

Giusto?

[dissonance]

Giusto.