Coefficienti di Fourier rispetto a un set
Sia $e_n = {sin(nx)}, n=1,2,...$ una base in $L^2(o,pi)$
Prendiamo una funzione $f(x)$ e sviluppiamola rispetto a questo set. Diciamo che i coefficienti sono $(e_n,f(x))= a_n$
Ci chiediamo, quali sono i coefficienti della funzione $f(x-pi)$?
Beh io ho pensato così: la funzione sviluppata si trasforma in una funzione periodica di periodo $pi$, quindi si ha $f(pi - x) = f(-x)$
Qui mi si aprono davanti due strade opposte (nel vero senso della parola)
Perché dal momento che la base è costituita da soli seni (che sono funzioni dispari) allora $f(-x) = - f(x)$, quindi i coefficienti saranno $-a_n$
Però è anche vero che la funzione sviluppa in $(0,pi)$ i seni, ottenendo cioè il grafico del seno in $(0,pi)$ ripetuto infinite volte. Ma a questo punto $f(-x) = f(x)$, ovvero i coefficienti saranno esattamente gli stessi, cioè $a_n$... uno (o entrambi ma non credo) di questi ragionamenti è sbagliato... ma non riesco a decidere quale...
Prendiamo una funzione $f(x)$ e sviluppiamola rispetto a questo set. Diciamo che i coefficienti sono $(e_n,f(x))= a_n$
Ci chiediamo, quali sono i coefficienti della funzione $f(x-pi)$?
Beh io ho pensato così: la funzione sviluppata si trasforma in una funzione periodica di periodo $pi$, quindi si ha $f(pi - x) = f(-x)$
Qui mi si aprono davanti due strade opposte (nel vero senso della parola)
Perché dal momento che la base è costituita da soli seni (che sono funzioni dispari) allora $f(-x) = - f(x)$, quindi i coefficienti saranno $-a_n$
Però è anche vero che la funzione sviluppa in $(0,pi)$ i seni, ottenendo cioè il grafico del seno in $(0,pi)$ ripetuto infinite volte. Ma a questo punto $f(-x) = f(x)$, ovvero i coefficienti saranno esattamente gli stessi, cioè $a_n$... uno (o entrambi ma non credo) di questi ragionamenti è sbagliato... ma non riesco a decidere quale...
Risposte
C'è qualcosa che non va. Se scrivi $L^2(0, pi)$, cosa intendi? Le funzioni $pi$-periodiche? In questo caso devi stare attento a cosa intendi per $sin$, che non è $pi$-periodica ma $2pi$-periodica.
con $L^2(I)$ dove I è un intervallo intendo in generale le funzioni a quadrato sommabile nell'intervallo... ma possibile che usiamo notazioni così tanto diverse? il mio professore chiama le basi "set" e denota con $L^2(0,pi)$ una cosa diversa da quella che denoti tu!
E allora è qua il guaio:
In particolare, in questo caso si possono dimostrare dei teoremi che mettono in relazione i coefficienti di Fourier di $f(x)$ e quelli di $f(x-x_0)$ (le famose "traslazioni nel tempo" che diventano "sfasature in frequenza" nell'ambito dei segnali).
Ma prendiamo i tuoi $sin(nx)\inL^2(0, pi)$, intendendo $L^2(0, pi)$ per quello che dovrebbe essere, e cioè le funzioni definite in $(0, pi)$ e a quadrato sommabile. Non vale nulla di analogo al caso precedente. Ecco, per esempio, prendi la funzione $sin(x)$. La sua serie di Fourier è, banalissimamente, $1*sin(x)+0*sin(2x)+0*sin(3x)+...$, e non è una funzione $pi$ periodica.
In questo caso i coefficienti di Fourier te li devi, IMHO, calcolare a mano e non hai a disposizione alcun trucco. Infatti ll'$n$-esimo coefficiente di Fourier della funzione $f(x-pi)$ è
$\frac{2}{pi}\int_0^pi f(x-pi)sin(nx)\ dx={"con la sostituzione"\ y=x-pi} \frac{2}{pi}\int_{-pi}^0 f(y)sin(ny+npi)\ dy$ e qui ti blocchi.
"Zkeggia":Falso. Questo fatto è vero quando pensi $L^2(0, T)$ come lo spazio delle funzioni $T$ periodiche e come base prendi un sistema di funzioni $T$ periodiche: per esempio con $T=2pi$ il sistema ${\frac{e^{i n t}}{\sqrt{2pi}}\ :\ n\in ZZ}$. Allora presa una funzione $f$ che magari $T$-periodica non è, schiaffandola a forza in $L^2(0, T)$ (o, più correttamente, considerandone la restrizione a $(0, T)$ e prolungando per periodicità) risulta che la relativa serie di Fourier $\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n) e^{i n t}$ converge ad una funzione $T$-periodica. E questo è chiaro, dal momento che in sostanza è una combinazione lineare (ma infinita) delle funzioni $e^{i n t}$ che sono $T$-periodiche.
Beh io ho pensato così: la funzione sviluppata si trasforma in una funzione periodica di periodo $pi$
In particolare, in questo caso si possono dimostrare dei teoremi che mettono in relazione i coefficienti di Fourier di $f(x)$ e quelli di $f(x-x_0)$ (le famose "traslazioni nel tempo" che diventano "sfasature in frequenza" nell'ambito dei segnali).
Ma prendiamo i tuoi $sin(nx)\inL^2(0, pi)$, intendendo $L^2(0, pi)$ per quello che dovrebbe essere, e cioè le funzioni definite in $(0, pi)$ e a quadrato sommabile. Non vale nulla di analogo al caso precedente. Ecco, per esempio, prendi la funzione $sin(x)$. La sua serie di Fourier è, banalissimamente, $1*sin(x)+0*sin(2x)+0*sin(3x)+...$, e non è una funzione $pi$ periodica.
In questo caso i coefficienti di Fourier te li devi, IMHO, calcolare a mano e non hai a disposizione alcun trucco. Infatti ll'$n$-esimo coefficiente di Fourier della funzione $f(x-pi)$ è
$\frac{2}{pi}\int_0^pi f(x-pi)sin(nx)\ dx={"con la sostituzione"\ y=x-pi} \frac{2}{pi}\int_{-pi}^0 f(y)sin(ny+npi)\ dy$ e qui ti blocchi.
La funzione non è $pi$ periodica, ma a me hanno insegnato che ogni $pi$ volte si ripete, ottenendo un grafico fatto come il grafico della funzione $sinx$ ripetuto infinite volte... sono cotto ma di questo sono abbastanza sicuro! Dal mio libro "... si osserva che la serie definisce in realtà una funzione periodica, che si estende "automaticamente" anche fuori dall'intervallo -l,l con periodo 2L."
Forse è il fatto che qui considere come intervallo un intervallo del tipo $(-L,L)$?
Forse è il fatto che qui considere come intervallo un intervallo del tipo $(-L,L)$?
Si, direi di si. Le serie di Fourier relative a quel set sono $sum_{n=0}^\infty a_n sin(n x)$ e quindi convergono a funzioni $2pi$ periodiche.
ah ok quindi otterrei lo sviluppo in termini di funzioni $2pi$ periodiche, ma a questo punto i coefficienti di $f(pi -x)$ saranno così:
per n pari si avrà che $sin(n(pi -x)) = -sin (nx)$ e quindi i coefficienti saranno $-a_n$, per $n$ dispari invece si ottiene $sin(n(pi -x)) = sin (nx)$ e quindi i coefficienti sono $a_n$
Spero sia giusto perché l'ho scritto con le mie ultime risorse mentali
per n pari si avrà che $sin(n(pi -x)) = -sin (nx)$ e quindi i coefficienti saranno $-a_n$, per $n$ dispari invece si ottiene $sin(n(pi -x)) = sin (nx)$ e quindi i coefficienti sono $a_n$
Spero sia giusto perché l'ho scritto con le mie ultime risorse mentali
Ma secondo me no. Non c'è relazione tra i coefficienti di $f(x)$ e quelli di $f(x-pi)$, a meno di ipotesi di periodicità di $f$. Esempio:
$f(x)={(1, x>=0),(0, x<0):}$. Questa funzione, o meglio la propria restrizione a $(0, pi)$ è a quadrato sommabile. Inoltre, sull'intervallo $(0, pi)$, si ha che $f(x)=1$ e $f(x-pi)=0$. Dimmi tu che relazione speri di trovare tra i coefficienti di Fourier di $1$ e quelli di $0$.
Spero di non avert confuso le idee... Secondo me nella definizione di $L^2(0, pi)$ c'è qualcos'altro che hai omesso. Che libro stai leggendo?
$f(x)={(1, x>=0),(0, x<0):}$. Questa funzione, o meglio la propria restrizione a $(0, pi)$ è a quadrato sommabile. Inoltre, sull'intervallo $(0, pi)$, si ha che $f(x)=1$ e $f(x-pi)=0$. Dimmi tu che relazione speri di trovare tra i coefficienti di Fourier di $1$ e quelli di $0$.
Spero di non avert confuso le idee... Secondo me nella definizione di $L^2(0, pi)$ c'è qualcos'altro che hai omesso. Che libro stai leggendo?
Allora la relazione ci deve essere perchè chiede esplicitamente di trovarla in un compito, e poi di usare questa relazione per trovare gli autovettori dell'operatore $T(f) = f(x) - f (pi - x)$
Il libro è "Metodi matematici della fisica" di G. Cicogna. Penso che sia un libro di testo che si conosce solo in Pisa, essendo del mio professore...
La definizione di $L^2(0,pi)$ è quella, son sicuro... non saprei...
Sei sicuro che si debba considerare $f(pi - x)$ con x tra $(0,pi)$ e non $f(pi - x)$ con $pi -x$ tra $(0,pi)$ ?
Comunque bisogna studiare $f(pi - x)$, non $f(x - pi)$... quindi il controesempio non va bene.... vabbè era solo per precisare!
Il libro è "Metodi matematici della fisica" di G. Cicogna. Penso che sia un libro di testo che si conosce solo in Pisa, essendo del mio professore...
La definizione di $L^2(0,pi)$ è quella, son sicuro... non saprei...
Sei sicuro che si debba considerare $f(pi - x)$ con x tra $(0,pi)$ e non $f(pi - x)$ con $pi -x$ tra $(0,pi)$ ?
Comunque bisogna studiare $f(pi - x)$, non $f(x - pi)$... quindi il controesempio non va bene.... vabbè era solo per precisare!
provo ad accennarti perché credo che sia come ho detto.
Tu sviluppi una funzione tra $0$ e $pi$, ottenendo una funzione che si ripete ogni $pi$ (non è detto che sia di periodo $pi$, magari è un sottomultiplo, però ogni $pi$ volte si ripete.
A questo punto consideri $f(x-pi)$ notando che la sviluppi in termini di $sin(nx)$. Ma $sin(n(x-pi))= - sinx$ se n è pari, mentre è $sinx$ nel caso sia dispari.
Quindi i coefficienti dispari rimangono immutati, quelli pari cambiano segno... se riesci a dirmi che va bene entro 5 minuti sei il mio mito, che domani mattina ho l'esame e questi dubbi prima non potevano venirmi... argh!
Tu sviluppi una funzione tra $0$ e $pi$, ottenendo una funzione che si ripete ogni $pi$ (non è detto che sia di periodo $pi$, magari è un sottomultiplo, però ogni $pi$ volte si ripete.
A questo punto consideri $f(x-pi)$ notando che la sviluppi in termini di $sin(nx)$. Ma $sin(n(x-pi))= - sinx$ se n è pari, mentre è $sinx$ nel caso sia dispari.
Quindi i coefficienti dispari rimangono immutati, quelli pari cambiano segno... se riesci a dirmi che va bene entro 5 minuti sei il mio mito, che domani mattina ho l'esame e questi dubbi prima non potevano venirmi... argh!
OK!! Se la funzione si ripete ogni $pi$ è giusto come dici tu. Infatti il controesempio non ha questa caratteristica. Ho fatto i conti e mi ritrovo con il fatto che i coefficienti dispari rimangono immutati, quelli pari cambiano segno. Suggerimento: nel dubbio, fatti il conto esplicito con l'integrale: scrivi il coefficiente di Fourier $2/pi\int_0^pi f(x-pi)sin(nx)\ dx$, poni $y=x-pi$ e svolgi i vari conti. E' più faticoso e lento ma è fool-proof, nel caso domani mattina ti venisse qualche dubbio al momento sbagliato.
In bocca al lupo!
In bocca al lupo!
grazie dissonance, come sempre sei fonte di grande aiuto (sai che casualmente, le volte che ti sei occupato delle mie domande, mancavano sempre meno di 24 ore al mio esame?! 
speriamo porti fortuna!)
ciao ciao!
speriamo porti fortuna!)ciao ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo