Coefficienti di Fourier, esercizio sulle serie

[bettina86]

Sto facendo degli esercizi sulle serie di fourier e nei coefficienti vine fuori questo che devo risolvere in quel modo, ma non so come arrivarci. io so che $cos(kpi)$ è $(-1)^k$ anche se la prof non ci ha spiegato come mai. forse perchè oscilla tra -1 e 1.
Siccome a volte è importanti trovare la serie di fourier per arrivare a trovare la somma delle serie di funzioni, vorrei capire come fare certi esercizi.
Sono arrivata a trovarmi i coefficienti di fourier ma non capisco come si arriva al risultato del libro.
Ho trovato il $sin(kpi/2) è = (-1)^[(k-1)/2]$? Sapreste spiegarmi il procedimento?

[Quinzio]

Non c'è molto da capire, davvero. Bisogna giocare un po' coi numeri.
Basta scrivere: k=0,1,2,3,4,....
$(-1)^0=1$
$(-1)^1=-1$
$(-1)^2=1$
$(-1)^3=-1$
$(-1)^4=1$
$(-1)^5=-1$

$cos(0*\pi)=1$
$cos(1*\pi)=-1$
$cos(2*\pi)=1$
$cos(3*\pi)=-1$
$cos(4*\pi)=1$
$cos(5*\pi)=-1$

vedi che sono la stessa cosa ?

Ho trovato il $ sin(kpi/2) è = (-1)^[(k-1)/2] $? Sapreste spiegarmi il procedimento?

Invece questo è sbagliato. Anche qui basta scrivere un po' di numeri e ci si accorge subito che non va bene.
Probabilmente il libro fa un calcolo diverso.
Ad esempio questo è corretto:
$ sin(kpi/2) = (((-1)^(k+1)+1)/2)(-1)^((k-1)/2) $

ma non è molto simpatico da leggere.
Quindi si può scrivere
$ sin(kpi/2) = (-1)^[(k-1)/2], k=dispari $
oppure
$a_(2n)=0$ cioè i pari
$a_(2n+1)=(-1)^((n-1)/2)$ cioè i dispari.

oppure ancora (più carino):
$a_n=Re((-1)^((n-1)/2))$