Coefficienti di Fourier di funzioni pari / dispari
Devo calcolare i coefficienti $a_5,b_5$ e $\hat f_5$ della funzione periodica:
[tex]f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
2 \ \ \ \ x\in(-\pi,-\pi/2] \\
0 \ \ \ \ x\in(-\pi/2,\pi/2] \\
2 \ \ \ \ x\in(\pi/2,\pi]
\end{array}
\right.[/tex]
Ho dato un'occhiata all'inizio delle soluzioni, e partono dicendo "Visto che $f$ è una funzione pari..."
Per convincermene (che è pari) mi son disegnato il grafico, ma probabilmente non era necessario.
Comunque: $f(-\pi/2)=2$ mentre $f(\pi/2)=0$, come fa ad essere pari??
In $\pi+k2\pi,\ k\in\mathbb[Z]$ effettivamente è pari, idem in tutti gli altri punti, eccetto che nei punti $\pi/2+k\pi,\ k\in\mathbb[Z]$
Non ho provato a verificare (calcolandoli) se davvero i $b_k$ sono nulli, ma presumo di si visto che le soluzioni procedono così,
però lo giustificano dicendo che $f(x)$ è pari!
[list=1]
[*:f62inzc7]Forse ai fini di calcolarsi i coefficienti di Fourier basta che sia pari ovunque estremi esclusi?[/*:m:f62inzc7]
[*:f62inzc7]Oppure le $b_k$ sono nulle diciamo "per caso" e le soluzioni mi prendono in giro dicendo che lo sono perché $f$ è pari?[/*:m:f62inzc7]
[*:f62inzc7]Oppure ancora le $b_k$ in realtà non sono nulle e le soluzioni sono completamente sbagliate?[/*:m:f62inzc7][/list:o:f62inzc7]
Ora sono le 01:30 di notte e devo dormire, magari domani nel tardo pomeriggio (prima non posso) provo a rispondermi da solo, però se nel frattempo qualcuno vuole rispondere almeno alla domanda 1. mi fa un piacere.
Grazie!
[tex]f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
2 \ \ \ \ x\in(-\pi,-\pi/2] \\
0 \ \ \ \ x\in(-\pi/2,\pi/2] \\
2 \ \ \ \ x\in(\pi/2,\pi]
\end{array}
\right.[/tex]
Ho dato un'occhiata all'inizio delle soluzioni, e partono dicendo "Visto che $f$ è una funzione pari..."
Per convincermene (che è pari) mi son disegnato il grafico, ma probabilmente non era necessario.
Comunque: $f(-\pi/2)=2$ mentre $f(\pi/2)=0$, come fa ad essere pari??
In $\pi+k2\pi,\ k\in\mathbb[Z]$ effettivamente è pari, idem in tutti gli altri punti, eccetto che nei punti $\pi/2+k\pi,\ k\in\mathbb[Z]$
Non ho provato a verificare (calcolandoli) se davvero i $b_k$ sono nulli, ma presumo di si visto che le soluzioni procedono così,
però lo giustificano dicendo che $f(x)$ è pari!
[list=1]
[*:f62inzc7]Forse ai fini di calcolarsi i coefficienti di Fourier basta che sia pari ovunque estremi esclusi?[/*:m:f62inzc7]
[*:f62inzc7]Oppure le $b_k$ sono nulle diciamo "per caso" e le soluzioni mi prendono in giro dicendo che lo sono perché $f$ è pari?[/*:m:f62inzc7]
[*:f62inzc7]Oppure ancora le $b_k$ in realtà non sono nulle e le soluzioni sono completamente sbagliate?[/*:m:f62inzc7][/list:o:f62inzc7]
Ora sono le 01:30 di notte e devo dormire, magari domani nel tardo pomeriggio (prima non posso) provo a rispondermi da solo, però se nel frattempo qualcuno vuole rispondere almeno alla domanda 1. mi fa un piacere.
Grazie!
Risposte
Integrali di funzioni che coincidono quasi ovunque (in particolare, ovunque tranne che in un numero finito di punti) sono uguali.
"gugo82":
Integrali di funzioni che coincidono quasi ovunque (in particolare, ovunque tranne che in un numero finito di punti) sono uguali.
Ho provato a calcolare la parte immaginaria dei coefficienti $f_k$ cioè i $b_k$,
se ci avessi pensato un minimo mi sarei accorto che sono nulli per forza visto che sommo due integrali identici,
il primo calcolato da $-pi$ a $-pi/2$ e il secondo da $pi/2$ a $pi$
Ed effettivamente come dici te che sia $x\in(a,b)$ piuttosto che $x\in[a,b]$ l'integrale va comunque calcolato da $a$ a $b$
Come al solito bastava pensarci un attimo con lucidità...
In conclusione, se in futuro mi dovessero capitare funzioni simili, che sembrano pari / dispari ad eccezione di qualche punto,
le posso comunque "considerare tali", o meglio, concludere che la parte immaginaria / reale saranno comunque nulle?
Grazie @gugo82
Ciao JackedTux,
Perché parli di parti immaginaria / reale?
Per le funzioni pari compaiono solo i coefficienti $a_n $ dei coseni (i $b_n $ sono nulli), mentre per le funzioni dispari compaiono solo i coefficienti $b_n $ dei seni (sono nulli i coefficienti $a_n$).
"JackedTux":
[...] concludere che la parte immaginaria / reale saranno comunque nulle?
Perché parli di parti immaginaria / reale?
Per le funzioni pari compaiono solo i coefficienti $a_n $ dei coseni (i $b_n $ sono nulli), mentre per le funzioni dispari compaiono solo i coefficienti $b_n $ dei seni (sono nulli i coefficienti $a_n$).
"pilloeffe":
Ciao JackedTux,
[quote="JackedTux"][...] concludere che la parte immaginaria / reale saranno comunque nulle?
Perché parli di parti immaginaria / reale?
Per le funzioni pari compaiono solo i coefficienti $a_n $ dei coseni (i $b_n $ sono nulli), mentre per le funzioni dispari compaiono solo i coefficienti $b_n $ dei seni (sono nulli i coefficienti $a_n$).[/quote]
Si infatti...
Copio dalle dispense:
$\hat f_k=\underbrace{(1/T\int_{-T/-2}^{T/2}f(x)\cos((2\pi)/T kx) dx)}_{\text{parte reale di }\hat f_k}-\underbrace{i(1/T\int_{-T/-2}^{T/2}f(x)\sin((2\pi)/T kx)dx)}_{\text{parte immaginaria di }\hat f_k}$
$a_k=\hat f_k+\hat f_{-k}=2/T\int_{-T/-2}^{T/2}f(x)\cos((2\pi)/T kx) dx$
$b_k=i(\hat f_k-\hat f_{-k})=2/T\int_{-T/-2}^{T/2}f(x)\sin((2\pi)/T kx) dx$
A parte il $1/T$ che diventa $2/T$ (me ne sono accorto solo ora), il resto è uguale.
Per quello ho chiamato $a_k$ parte reale e $b_k$ parte immaginaria, cosi come mi è stato dato nella definizione di $\hat f_k$
Prendo atto che stai facendo riferimento alla forma complessa della serie di Fourier, anche se non ne comprendo molto lo scopo... 
Per le relazioni fra i coefficienti della serie di Fourier in forma complessa e $a_n $ e $b_n $ potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.
Per le relazioni fra i coefficienti della serie di Fourier in forma complessa e $a_n $ e $b_n $ potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.
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