Coefficienti di fourier
Buongiorno a tutti! C'è un problema che non riesco a risolvere, e mi piacerebbe avere un hint, almeno per sapere da dove partire!
Siano f in $L^1(Q)$ e g in $ L^oo (Q) $ , dove Q= [-pi, pi). Mostrare che
$ lim_(n -> oo ) int_(-pi)^(pi) f(x)g(nx)dx = hat(f(0))hat(g(0)) $
Grazie mille!
Siano f in $L^1(Q)$ e g in $ L^oo (Q) $ , dove Q= [-pi, pi). Mostrare che
$ lim_(n -> oo ) int_(-pi)^(pi) f(x)g(nx)dx = hat(f(0))hat(g(0)) $
Grazie mille!
Risposte
Premetto che non credo questa sia la dimostrazione standard, ma già che mi è venuta in mente tanto vale scriverla 
Innanzi tutto, per densità, è sufficiente considerare il caso $f\in C^{\infty} [ -\pi, \pi ] $.
Definiamo $G(t) := \int_0^t g(s)ds$; integrando per parti abbiamo che
$I_n := \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(nx)dx = f(x) \frac{G(nx)}{n}|_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \frac{G(nx)}{n}dx$.
Osserviamo ora che $\frac{G(nx)}{n} \to \bar{g} x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, dove $\bar{g} := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g$ è il valor medio di $g$ (basta distinguere il caso banale $x=0$ e il caso generale $x\ne 0$).
Di conseguenza, passando al limite attraverso il teorema di convergenza dominata
$\lim_n I_n = \bar{g} \pi [f(\pi) + f(-\pi)] - \bar{g} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) x dx$.
Integrando nuovamente per parti otteniamo infine
$\lim_n I_n = \bar{g}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$
che, salvo errori, dovrebbe essere ciò che cercavi.
Innanzi tutto, per densità, è sufficiente considerare il caso $f\in C^{\infty} [ -\pi, \pi ] $.
Definiamo $G(t) := \int_0^t g(s)ds$; integrando per parti abbiamo che
$I_n := \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(nx)dx = f(x) \frac{G(nx)}{n}|_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \frac{G(nx)}{n}dx$.
Osserviamo ora che $\frac{G(nx)}{n} \to \bar{g} x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, dove $\bar{g} := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g$ è il valor medio di $g$ (basta distinguere il caso banale $x=0$ e il caso generale $x\ne 0$).
Di conseguenza, passando al limite attraverso il teorema di convergenza dominata
$\lim_n I_n = \bar{g} \pi [f(\pi) + f(-\pi)] - \bar{g} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) x dx$.
Integrando nuovamente per parti otteniamo infine
$\lim_n I_n = \bar{g}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$
che, salvo errori, dovrebbe essere ciò che cercavi.
Grazie mille! Avrei solo due dubbi:
1) Non capisco bene come si proceda per densità a partire dalle funzioni $ C^oo $ fino alle funzioni in $ L^1 $
2) Nell'ultimo passaggio, non manca un coefficiente $ 1/(2pi) $? Non riesco proprio a farlo saltare fuori..
Grazie ancora!
1) Non capisco bene come si proceda per densità a partire dalle funzioni $ C^oo $ fino alle funzioni in $ L^1 $
2) Nell'ultimo passaggio, non manca un coefficiente $ 1/(2pi) $? Non riesco proprio a farlo saltare fuori..
Grazie ancora!
"marco.brambi":
1) Non capisco bene come si proceda per densità a partire dalle funzioni $ C^oo $ fino alle funzioni in $ L^1 $
Sai che $C^{\infty}$ è denso in $L^1$ (nella metrica di $L^1$).
Quindi, per ogni $\epsilon > 0$, esiste $f_{\epsilon}\in C^{\infty}$ t.c. $||f - f_{\epsilon}||_{L^1} < \epsilon$.
Se il risultato vale per $f_{\epsilon}$, allora posto $I_n^{\epsilon} := \int_{-\pi}^{\pi} f_{\epsilon}(x) g(nx)dx$ si ha
$|I_n - I_n^{\epsilon}| \le ||f - f_{\epsilon}||_{L^1} ||g||_{\infty} \le \epsilon ||g||_{\infty}$.
Da qui deduci che
$"limsup"_n I_n \le \lim_n I_n^{\epsilon} + \epsilon ||g||_{\infty} = 2\pi \bar{f}_{\epsilon} \bar{g} + \epsilon ||g||_{\infty}\le 2\pi \bar{f} \bar{g} + C\epsilon ||g||_{\infty}$,
$"liminf"_n I_n \ge \lim_n I_n^{\epsilon} - \epsilon ||g||_{\infty} = 2\pi \bar{f}_{\epsilon} \bar{g} - \epsilon ||g||_{\infty}\ge 2\pi \bar{f} \bar{g} - C\epsilon ||g||_{\infty} $.
Dall'arbitrarietà di $\epsilon$ concludi che $\lim_n I_n = 2\pi \bar{f} \bar{g}$.
2) Nell'ultimo passaggio, non manca un coefficiente $ 1/(2pi) $? Non riesco proprio a farlo saltare fuori..
Mi sembra i coefficienti siano corretti (ma non ci metto una mano sul fuoco).
D'altra parte $\hat{f}$ indica la trasformata di Fourier di $f$, che di solito ha un coefficiente di normalizzazione $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$; il prodotto $\hat{f}(0)\hat{g}(0)$ dà il coefficiente $\frac{1}{2\pi}$.
Grazie mille ancora!
In realtà io come coefficiente di normalizzazione utilizzo $ 1/(2pi) $ ed è per questo che non mi tornava..cioè per me
$ hat(f(k)) = 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) f(x) e^(-ikx)dx $
In realtà io come coefficiente di normalizzazione utilizzo $ 1/(2pi) $ ed è per questo che non mi tornava..cioè per me
$ hat(f(k)) = 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) f(x) e^(-ikx)dx $
Per fare un controllo: pensa $g(x) = c$ costante, e vedi come devono venire i coefficienti.
caspita hai ragione..si vede che il libro da dove l'ho preso usa una definizione differente dalla mia!!!
grazie davvero
grazie davvero
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